Aljabar Contoh

$x^{3} e^{x}$

Langkah 1

Tulis $x^{3} e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.6

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 3.6.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 3.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ benar.

$x = 0, - 3$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 3$ .

$0, - 3$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 4) = - 64 e^{- 4} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - 64 \frac{1}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $- 64$ dan $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 3 \cdot (16 e^{- 4})$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + 48 (\frac{1}{e^{4}})$

Langkah 6.2.1.8

Gabungkan $48$ dan $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}} + \frac{48}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 4) = \frac{- 64 + 48}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Tambahkan $- 64$ dan $48$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 4) = - \frac{16}{e^{4}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{16}{e^{4}}$ .

$- \frac{16}{e^{4}}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $- \frac{16}{e^{4}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 3)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 3)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot e^{- \frac{3}{2}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.6

Kalikan $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{27}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 8} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.7

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $e^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 \cdot e^{\frac{3}{2}}} + 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.8

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.8.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.8.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.9

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.10

Kalikan $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{2^{2}}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.12

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + 3 (\frac{9}{4}) \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.13

Kalikan $3 (\frac{9}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.13.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.13.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 7.2.1.14

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.1.15

Gabungkan.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 1}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.1.16

Kalikan $27$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8 e^{\frac{3}{2}}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $\frac{27}{4 e^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{4 e^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}} + \frac{27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $27$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.5.2

Tambahkan $- 27$ dan $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 7.3

Pada $x = - \frac{3}{2}$ , turunannya adalah $\frac{27}{8 e^{\frac{3}{2}}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 3, 0)$ .

Meningkat pada $(- 3, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = {(1)}^{3} e^{1} + 3 {(1)}^{2} e^{1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 1 e + 3 {(1)}^{2} e$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $e^{1}$ dengan $1$ .

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Langkah 8.2.1.3

Sederhanakan.

$f' (1) = e + 3 {(1)}^{2} e$

Langkah 8.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = e + 3 \cdot (1 e)$

Langkah 8.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (1) = e + 3 e$

Langkah 8.2.1.6

Sederhanakan.

$f' (1) = e + 3 e$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $e$ dan $3 e$ .

$f' (1) = 4 e$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4 e$ .

$4 e$

Langkah 8.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $4 e$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 3)$

Langkah 10