Aljabar Contoh

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $- \sin (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x x') + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \sin (y)$ dan $g (y) = 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \cdot 2$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + 2 \cos (2 y)$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 3.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + y \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x + y x'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$y x' + x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y) = y x' + x$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $x^{2} \sin (y)$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x + x^{2} \sin (y)$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x \cos (y) x' = y x' + x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Langkah 5.3

Kurangkan $y x'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x \cos (y) x' - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x \cos (y) x' - y x'$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Langkah 5.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Langkah 5.5.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Langkah 5.5.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Langkah 5.6

Selesaikan persamaan untuk $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $x'$ dari $2 x x' \cos (y) - y x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Faktorkan $x'$ dari $2 x x' \cos (y)$ .

$x' (2 x \cos (y)) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Langkah 5.6.1.2

Faktorkan $x'$ dari $- y x'$ .

$x' (2 x \cos (y)) + x' (- y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Langkah 5.6.1.3

Faktorkan $x'$ dari $x' (2 x \cos (y)) + x' (- y)$ .

$x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Langkah 5.6.2

Bagi setiap suku pada $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ dengan $2 x \cos (y) - y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Bagilah setiap suku di $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ dengan $2 x \cos (y) - y$ .

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x \cos (y) - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x + x^{2} \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.1.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x' = \frac{x^{1} + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.1.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.1.3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{2} \sin (y)$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.1.3.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (x \sin (y))$ .

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x' = \frac{x + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.2.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.2.3.1

Pindahkan $x$ .

$x' = \frac{x + x \cdot x \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.2.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 5.6.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$