Aljabar Contoh

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x^{2} + x}$

Langkah 1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x^{2} + x}$

Langkah 1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x^{2} + x}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{2} + x}$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x}$

Langkah 1.1.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x^{1}}$

Langkah 1.1.3.4

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.5

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + x) + x \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.6

Faktorkan $x$ dari $x (x^{2} + x) + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + x + 1))}{x (x^{2} + x + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + x + 1))}{x (x^{2} + x + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.4.2.2

Bagilah $(x + 1) (x - 1)$ dengan $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.5

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.7.1.2

Bagilah $A (x^{2} + x + 1)$ dengan $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.7.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.7.4.2

Bagilah $(B x + C) (x)$ dengan $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x)$

Langkah 1.7.5

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + C x$

Langkah 1.7.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + C x$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + C x$

Langkah 1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Susun kembali $B$ dan $x^{2}$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + C x$

Langkah 1.8.2

Pindahkan $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x + A$

Langkah 1.8.3

Pindahkan $A x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x + C x + A$

Langkah 2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + C$

Langkah 2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$- 1 = A$

Langkah 2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = A + B$

$0 = A + C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = A + C$

$- 1 = A$

Langkah 3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = - 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B$

$0 = A + C$

Langkah 3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- 1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A + B$ dengan $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$0 = A + C$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = A + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = A + C$

Langkah 3.2.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + C$ dengan $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = - 1 + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Langkah 3.3

Selesaikan $C$ dalam $0 = - 1 + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + C = 0$ .

$- 1 + C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Langkah 3.4

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + B = 1$ .

$- 1 + B = 1$

$C = 1$

$A = - 1$

Langkah 3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$B = 1 + 1$

$C = 1$

$A = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$B = 2$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = 1$

$A = - 1$

Langkah 3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = 2, C = 1, A = - 1$

Langkah 4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 5

Kalikan $2$ dengan $x$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$