Aljabar Contoh

$2 y = x^{2} + 2 x$ , $y = 4 x - 23$

Langkah 1

Ambil masing-masing persamaan bidang dalam bentuk baku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y - x^{2} = 2 x, y = 4 x - 23$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y = 4 x - 23$

Langkah 1.2

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y - 4 x = - 23$

Langkah 2

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik $(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ dan bidang $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan $t$ .

4. Menggunakan nilai dari $t$ , selesaikan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ untuk $t$ untuk menentukan perpotongan $(x, y, z)$ .

Langkah 3

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

(Variabel0) adalah $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ . Cari vektor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 2, 2, 0 ⟩$

Langkah 3.2

(Variabel0) adalah $y - 4 x = - 23$ . Cari vektor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ - 4, 1, 0 ⟩$

Langkah 3.3

Hitung hasil perkalian titik dari $n_{1}$ dan $n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai $x$ , $y$ , dan $z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$8 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$8 + 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$8 + 2 + 0$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Tambahkan $8$ dan $2$ .

$10 + 0$

Langkah 3.4.3.2

Tambahkan $10$ dan $0$ .

$10$

Langkah 4

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ menggunakan titik asal $(0, 0, 0)$ untuk titik $(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal $10$ untuk nilai-nilai $a$ , $b$ , dan $c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan $P_{1}$ $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ .

$x = 0 + - 2 \cdot t$

$y = 0 + 2 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 5

Substitusikan pernyataan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ ke dalam persamaan untuk $P_{2}$ $y - 4 x = - 23$ .

$(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

Langkah 6

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan suku balikan dalam $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Tambahkan $0$ dan $2 \cdot t$ .

$2 \cdot t - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

Langkah 6.1.1.2

Kurangi $2 \cdot t$ dengan $0$ .

$2 \cdot t - 4 (- 2 \cdot t) = - 23$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$2 t + 8 t = - 23$

Langkah 6.1.3

Tambahkan $2 t$ dan $8 t$ .

$10 t = - 23$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $10 t = - 23$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $10 t = - 23$ dengan $10$ .

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 23}{10}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{23}{10}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan parametrik untuk $x$ , $y$ , dan $z$ menggunakan nilai dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Langkah 7.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

Langkah 7.1.3

Sederhanakan $0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{23}{10}$ ke dalam pembilangnya.

$x = 0 - 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

Langkah 7.1.3.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$x = 0 + 2 (- 1) \cdot \frac{- 23}{10}$

Langkah 7.1.3.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.1.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.1.3.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 0 - 1 \cdot \frac{- 23}{5}$

Langkah 7.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = 0 - 1 \cdot (- \frac{23}{5})$

Langkah 7.1.3.1.3

Kalikan $- 1 (- \frac{23}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 0 + 1 (\frac{23}{5})$

Langkah 7.1.3.1.3.2

Kalikan $\frac{23}{5}$ dengan $1$ .

$x = 0 + \frac{23}{5}$

Langkah 7.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{23}{5}$ .

$x = \frac{23}{5}$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan $0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{23}{10}$ ke dalam pembilangnya.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

Langkah 7.2.3.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 (5)}$

Langkah 7.2.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.2.3.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 0 + \frac{- 23}{5}$

Langkah 7.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = 0 - \frac{23}{5}$

Langkah 7.2.3.2

Kurangi $\frac{23}{5}$ dengan $0$ .

$y = - \frac{23}{5}$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Langkah 7.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Kalikan $0 (- \frac{23}{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{23}{10})$

Langkah 7.3.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{23}{10}$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 7.3.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$z = 0$

Langkah 7.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ .

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

Langkah 8

Menggunakan nilai yang dihitung untuk $x$ , $y$ , dan $z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu $(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$ .

$(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$