Aljabar Contoh

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

Langkah 1

Ambil masing-masing persamaan bidang dalam bentuk baku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Langkah 1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Langkah 1.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Langkah 1.3

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Langkah 1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{8}{3}$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

Langkah 1.4.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $y$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Langkah 1.5

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Langkah 2

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik $(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ dan bidang $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan $t$ .

4. Menggunakan nilai dari $t$ , selesaikan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ untuk $t$ untuk menentukan perpotongan $(x, y, z)$ .

Langkah 3

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

(Variabel0) adalah $- y - x = 5$ . Cari vektor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

Langkah 3.2

(Variabel0) adalah $x - \frac{8 y}{3} = 0$ . Cari vektor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

Langkah 3.3

Hitung hasil perkalian titik dari $n_{1}$ dan $n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai $x$ , $y$ , dan $z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 1 (- \frac{8}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.2.2

Kalikan $\frac{8}{3}$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

Langkah 3.4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Langkah 3.4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Langkah 3.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

Langkah 3.4.6.2

Tambahkan $- 3$ dan $8$ .

$\frac{5}{3} + 0$

Langkah 3.4.7

Tambahkan $\frac{5}{3}$ dan $0$ .

$\frac{5}{3}$

Langkah 4

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ menggunakan titik asal $(0, 0, 0)$ untuk titik $(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal $\frac{5}{3}$ untuk nilai-nilai $a$ , $b$ , dan $c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan $P_{1}$ $- y - x = 5$ .

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 5

Substitusikan pernyataan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ ke dalam persamaan untuk $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ .

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Langkah 6

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan suku balikan dalam $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kurangi $1 \cdot t$ dengan $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Langkah 6.1.1.2

Kurangi $1 \cdot t$ dengan $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Tulis kembali $- 1 t$ sebagai $- t$ .

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Langkah 6.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.2.4

Kalikan $- - \frac{8 t}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.2.4.2

Kalikan $\frac{8 t}{3}$ dengan $1$ .

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.3

Untuk menuliskan $- t$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Gabungkan $- t$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Faktorkan $t$ dari $- t \cdot 3 + 8 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1.1

Faktorkan $t$ dari $- t \cdot 3$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

Langkah 6.1.5.1.2

Faktorkan $t$ dari $8 t$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

Langkah 6.1.5.1.3

Faktorkan $t$ dari $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

Langkah 6.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

Langkah 6.1.5.3

Tambahkan $- 3$ dan $8$ .

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

Langkah 6.1.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $t$ .

$\frac{5 t}{3} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 t = 0$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $5 t = 0$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $5 t = 0$ dengan $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{0}{5}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$t = 0$

Langkah 7

Selesaikan persamaan parametrik untuk $x$ , $y$ , dan $z$ menggunakan nilai dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

Langkah 7.1.2

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Langkah 7.2.2

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan $0 + 0 \cdot (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 7.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$z = 0$

Langkah 7.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Langkah 8

Menggunakan nilai yang dihitung untuk $x$ , $y$ , dan $z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$