Aljabar Contoh

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $5 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $9 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Langkah 1.1.3

Kurangkan $10 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $54 y$ ke kedua sisi persamaan.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $y$ dan $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $- 5 x^{2} - 10 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $100$ dengan $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Langkah 1.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$e = 5$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Langkah 1.3

Substitusikan $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ untuk $- 5 x^{2} - 10 x$ dalam persamaan $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Langkah 1.4

Pindahkan $5$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $5$ ke kedua sisinya.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- 9 y^{2} + 55 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Langkah 1.5.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{55}{18}$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $55$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- - \frac{3025}{36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Langkah 1.5.4.2.1.4.2

Kalikan $\frac{3025}{36}$ dengan $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ untuk $- 9 y^{2} + 55 y$ dalam persamaan $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Langkah 1.7

Pindahkan $\frac{3025}{36}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $\frac{3025}{36}$ ke kedua sisinya.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8

Sederhanakan $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Tulis $41$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8.1.2

Kalikan $\frac{41}{1}$ dengan $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8.1.3

Kalikan $\frac{41}{1}$ dengan $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8.1.4

Tulis $- 5$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8.1.5

Kalikan $\frac{- 5}{1}$ dengan $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8.1.6

Kalikan $\frac{- 5}{1}$ dengan $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Langkah 1.8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Langkah 1.8.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Kalikan $41$ dengan $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Langkah 1.8.3.2

Kalikan $- 5$ dengan $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Langkah 1.8.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1

Kurangi $180$ dengan $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Langkah 1.8.4.2

Kurangi $3025$ dengan $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Langkah 1.8.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Langkah 1.9

Balik tanda pada setiap komponen dari persamaan tersebut sehingga komponen di sisi kanan positif.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Langkah 1.10

Bagi setiap suku dengan $\frac{1729}{36}$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Langkah 1.11

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Langkah 5