Aljabar Contoh

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Langkah 2

Karena $z$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $z$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{y} + \ln (x y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang Digeneralisir yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ adalah $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ di mana $f = x$ dan $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $x^{y}$ dengan $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \ln (y)$ dan $g (y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 3.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Langkah 3.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Langkah 3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Langkah 3.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Langkah 3.4.2.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Langkah 3.4.2.4

Gabungkan $\frac{y}{x y}$ dan $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Langkah 3.4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Langkah 3.4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.6

Untuk menuliskan $x' (y x^{y - 1})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.8

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.9

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.12

Untuk menuliskan $x^{y} \ln (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.14

Untuk menuliskan $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Langkah 3.4.2.15

Untuk menuliskan $\frac{x'}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 3.4.2.16

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.16.1

Kalikan $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 3.4.2.16.2

Kalikan $\frac{x'}{x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Langkah 3.4.2.16.3

Susun kembali faktor-faktor dari $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Langkah 3.4.2.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Langkah 3.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Pindahkan $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Kalikan $x^{y}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{y - 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.1

Pindahkan $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.2.2

Kalikan $x^{y - 1}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $y - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.3.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.2.3.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.4.2.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Langkah 3.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan persamaan untuk $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Langkah 5.2.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangkan $y x^{y + 1} \ln (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Langkah 5.2.2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y x'$ dari $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Faktorkan $y x'$ dari $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Langkah 5.2.3.2

Faktorkan $y x'$ dari $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Langkah 5.2.3.3

Faktorkan $y x'$ dari $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Langkah 5.2.4

Bagi setiap suku pada $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ dengan $y (y x^{y} + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Bagilah setiap suku di $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ dengan $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y x^{y} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.2.2.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.5.1

Tulis kembali $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ sebagai $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 5.2.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$