Aljabar Contoh

$x^{3} = - i$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $x^{3}$ .

$u^{3} = - i$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 0$ dan $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 5

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Langkah 5.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| z | = 1$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Langkah 7

Karena argumennya tidak terdefinisi dan $b$ negatif, sudut dari titik pada bidang kompleksnya adalah $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{3 π}{2}$ dan $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 9

Ganti sisi kanan persamaan tersebut dengan bentuk trigonometri.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 10

Gunakan Teorema De Moivre untuk mencari persamaan untuk $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 11

Samakan modulus dari bentuk trigonometri ke $r^{3}$ untuk menemukan nilai dari $r$ .

$r^{3} = 1$

Langkah 12

Selesaikan persamaan untuk $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{3} - 1 = 0$

Langkah 12.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Langkah 12.2.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = r$ dan $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Kalikan $r$ dengan $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Langkah 12.2.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Langkah 12.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Langkah 12.4

Atur $r - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Atur $r - 1$ sama dengan $0$ .

$r - 1 = 0$

Langkah 12.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$r = 1$

Langkah 12.5

Atur $r^{2} + r + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Atur $r^{2} + r + 1$ sama dengan $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Langkah 12.5.2

Selesaikan $r^{2} + r + 1 = 0$ untuk $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 12.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 12.5.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 12.5.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.5.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 12.5.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Langkah 12.5.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 12.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ benar.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 13

Tentukan nilai perkiraan dari $r$ .

$r = 1$

Langkah 14

Temukan nilai yang memungkinkan dari $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ dan $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Langkah 15

Menemukan semua nilai $θ$ yang memungkinkan mengarah ke persamaan $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Langkah 16

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Langkah 17

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Kalikan $2 π \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$3 θ = 0 π$

Langkah 17.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$3 θ = 0$

Langkah 17.2

Bagi setiap suku pada $3 θ = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Bagilah setiap suku di $3 θ = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 17.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 17.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Langkah 17.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$θ = 0$

Langkah 18

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{3} = - i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Langkah 19

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Kalikan $\cos (0) + i \sin (0)$ dengan $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Langkah 19.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Langkah 19.2.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Langkah 19.2.3

Kalikan $i$ dengan $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Langkah 19.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{0} = 1$

Langkah 20

Substitusikan $x^{3}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{0} = 0 + 1$

Langkah 21

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Langkah 22

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 θ = 2 π$

Langkah 22.2

Bagi setiap suku pada $3 θ = 2 π$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Bagilah setiap suku di $3 θ = 2 π$ dengan $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 22.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 22.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Langkah 23

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{3} = - i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Langkah 24

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Kalikan $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ dengan $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 24.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 24.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 24.2.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 24.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 24.2.5

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 25

Substitusikan $x^{3}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 26

Temukan nilai dari $θ$ untuk $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Langkah 27

Selesaikan persamaan untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 θ = 4 π$

Langkah 27.2

Bagi setiap suku pada $3 θ = 4 π$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Bagilah setiap suku di $3 θ = 4 π$ dengan $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Langkah 27.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Langkah 27.2.2.1.2

Bagilah $θ$ dengan $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Langkah 28

Gunakan nilai $θ$ dan $r$ untuk menghitung penyelesaian untuk persamaan $u^{3} = - i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Langkah 29

Konversikan penyelesaian ke bentuk persegi panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.1

Kalikan $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ dengan $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Langkah 29.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 29.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Langkah 29.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Langkah 29.2.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Langkah 29.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 29.2.5

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 30

Substitusikan $x^{3}$ untuk $u$ untuk menghitung nilai $z$ setelah pergeseran ke kanan.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 31

Ini adalah penyelesaian kompleks untuk $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$