Aljabar Contoh

$x^{2} - 9 y^{3} = \ln (y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 9 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 9 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - 9 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x - 9 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} y')$

Langkah 2.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 9$ .

$2 x - 27 y^{2} y'$

Langkah 2.3

Susun kembali suku-suku.

$- 27 y^{2} y' + 2 x$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 27 y^{2} y' + 2 x = \frac{y'}{y}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$(- 27 y^{2} y' + 2 x) y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $(- 27 y^{2} y' + 2 x) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 27 y^{2} y' y + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$- 27 (y \cdot y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$- 27 (y^{1} y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 27 y^{1 + 2} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- 27 y^{3} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.3

Pindahkan $y^{3}$ .

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = y'$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y - y' = 0$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 27 y' y^{3} - y' = - 2 x y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- 27 y' y^{3} - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y'$ dari $- 27 y' y^{3}$ .

$y' (- 27 y^{3}) - y' = - 2 x y$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 27 y^{3} - 1) = - 2 x y$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $- 27 y^{3}$ sebagai ${(- 3 y)}^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1) = - 2 x y$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1^{3}) = - 2 x y$

Langkah 5.3.6

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = - 3 y$ dan $b = 1$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3 y)}^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Langkah 5.3.7

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 3 y$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3)}^{2} y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Langkah 5.3.7.1.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Langkah 5.3.7.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1^{2})) = - 2 x y$

Langkah 5.3.7.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)) = - 2 x y$

Langkah 5.3.7.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$

Langkah 5.3.8

Bagi setiap suku pada $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ dengan $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ dengan $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9 y^{2} - 3 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1 (1)) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.3.5.1

Tulis kembali $- (3 y + 1)$ sebagai $- 1 (3 y + 1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- 1 (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - - \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 5.3.8.3.5.4

Kalikan $\frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$