Aljabar Contoh

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \tan^{-1} (y)$ dan $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\tan^{-1} (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.12

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 4.13

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

Langkah 4.14

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ dan $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Langkah 6

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ dengan $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

Langkah 6.3.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 6.3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 6.3.2.1.4

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.1.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.1.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Langkah 6.3.2.1.4.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$