Aljabar Contoh

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 49, \pm \frac{49}{2}, \pm 343, \pm \frac{343}{2}$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - \frac{7}{2}$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.3

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$2 (- \frac{343}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$2 (- \frac{343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{343}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$2 (\frac{- 343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$2 \frac{- 343}{2 (4)} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{- 343}{2 \cdot 4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.9

Kalikan $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.10

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{49}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (\frac{49}{4}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.12

Kalikan $7 (\frac{49}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.12.1

Gabungkan $7$ dan $\frac{49}{4}$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{7 \cdot 49}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.12.2

Kalikan $7$ dengan $49$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.13.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{7}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (\frac{- 7}{2}) + 343$

Langkah 4.1.13.2

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 (49) \frac{- 7}{2} + 343$

Langkah 4.1.13.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 \cdot 49 \frac{- 7}{2} + 343$

Langkah 4.1.13.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 49 \cdot - 7 + 343$

Langkah 4.1.14

Kalikan $49$ dengan $- 7$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} - 343 + 343$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 343 + 343 + \frac{- 343 + 343}{4}$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 343$ dan $343$ .

$- 343 + 343 + \frac{0}{4}$

Langkah 4.3

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis $- 343$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- 343}{1} + 343 + \frac{0}{4}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $\frac{- 343}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343}{1} \cdot \frac{4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

Langkah 4.3.3

Kalikan $\frac{- 343}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

Langkah 4.3.4

Tulis $343$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} + \frac{0}{4}$

Langkah 4.3.5

Kalikan $\frac{343}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Langkah 4.3.6

Kalikan $\frac{343}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 343 \cdot 4 + 343 \cdot 4}{4}$

Langkah 4.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 343$ dengan $4$ .

$\frac{- 1372 + 343 \cdot 4}{4}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $343$ dengan $4$ .

$\frac{- 1372 + 1372}{4}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tambahkan $- 1372$ dan $1372$ .

$\frac{0}{4}$

Langkah 4.6.2

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- \frac{7}{2}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + \frac{7}{2}$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343}{x + \frac{7}{2}}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(- \frac{7}{2})$ dan tempatkan hasil $(- 7)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$	$0$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(- \frac{7}{2})$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(98)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$	$98$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(98)$ dengan pembagi $(- \frac{7}{2})$ dan tempatkan hasil $(- 343)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(343)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{2} + 0 x + 98$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$2 x^{2} + 98$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 98$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2}) + 98)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot 49)$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 2 \cdot 49$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2} + 49))$

Langkah 8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 x^{3} + 7 x^{2}) + 98 x + 343 = 0$

Langkah 8.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{2} (2 x + 7) + 49 (2 x + 7) = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 7$ .

$(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

Langkah 10

Atur $2 x + 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $2 x + 7$ sama dengan $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $2 x + 7 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 7$

Langkah 10.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 7$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 7$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Langkah 10.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Langkah 10.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{7}{2}$

Langkah 11

Atur $x^{2} + 49$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} + 49$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} + 49 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kurangkan $49$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 49$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 49}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Tulis kembali $- 49$ sebagai $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Langkah 11.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (49)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Langkah 11.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Langkah 11.2.3.4

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Langkah 11.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 7$

Langkah 11.2.3.6

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 7 i$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 7 i$

Langkah 11.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 7 i$

Langkah 11.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 7 i, - 7 i$

Langkah 12

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$ benar.

$x = - \frac{7}{2}, 7 i, - 7 i$

Langkah 13