Aljabar Contoh

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Langkah 1.1.1.2.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Langkah 1.1.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{2}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kalikan $x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x^{2} = - 2$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = - 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = - 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 1.2.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 1.2.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 1.2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 1.2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 1.2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur argumen dalam $\ln (x^{2} + 1)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{2} + 1 > 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} > - 1$

Langkah 2.2.2

Karena sisi kiri memiliki pangkat genap, maka selalu positif untuk semua bilangan riil.

Semua bilangan riil

Langkah 2.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = \frac{- 2 {(- 4)}^{2} + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 32 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.3

Tambahkan $- 32$ dan $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

Langkah 4.2.2.3

Naikkan $17$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{289}$

Langkah 4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 4) = - \frac{30}{289}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{30}{289}$ .

$- \frac{30}{289}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (- 4)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Langkah 5.2.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 2$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- 1, 1)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = \frac{- 2 {(4)}^{2} + 2}{{({(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 32 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Tambahkan $- 32$ dan $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $17$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{289}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (4) = - \frac{30}{289}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{30}{289}$ .

$- \frac{30}{289}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(1, \infty)$ karena $f'' (4)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8