Aljabar Contoh

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

Langkah 1

Faktorkan $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Langkah 1.3

Substitusikan $0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0.5$ ke dalam polinomialnya.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Langkah 1.3.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Langkah 1.3.3

Kalikan $6$ dengan $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Langkah 1.3.4

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Langkah 1.3.5

Kalikan $25$ dengan $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $0.75$ dan $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 24$ dengan $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Langkah 1.3.8

Kurangi $12$ dengan $7$ .

$- 5 + 5$

Langkah 1.3.9

Tambahkan $- 5$ dan $5$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Langkah 1.5

Bagilah $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ dengan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $28 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $28 x^{2} - 14 x$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 10 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 10 x + 5$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Langkah 1.6

Tulis $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ dan yang jumlahnya adalah $b = 14$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Faktorkan $14$ dari $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali $14$ sebagai $- 1$ ditambah $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

Langkah 2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

Langkah 2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

Langkah 2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$