Aljabar Contoh

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Langkah 1

Ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Langkah 2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Langkah 2.1.2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Langkah 2.1.2.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Langkah 2.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\log (2 x - x^{2}) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Langkah 2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Langkah 2.3.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.3.4

Substitusikan nilai-nilai $a = - 1$ , $b = 2$ , dan $c = - 10$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.3

Kurangi $40$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.4

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (36)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.7

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.1.9

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Langkah 2.3.5.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Langkah 2.3.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Langkah 3

Tentukan domain dari $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\log (2 x - x^{2})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$2 x - x^{2} > 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x - x^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $x$ dari $2 x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Langkah 3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Langkah 3.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Langkah 3.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Langkah 3.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.2.5

Atur $2 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Atur $2 - x$ sama dengan $0$ .

$2 - x = 0$

Langkah 3.2.5.2

Selesaikan $2 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 2$

Langkah 3.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.2.5.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x = 2$

Langkah 3.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (2 - x) = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 3.2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 3.2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 3.2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Langkah 3.2.8.1.3

Sisi kiri $- 8$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 3.2.8.2

Uji nilai pada interval $0 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 3.2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Langkah 3.2.8.2.3

Sisi kiri $1$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 3.2.8.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 3.2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Langkah 3.2.8.3.3

Sisi kiri $- 8$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 3.2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Salah

$0 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

$x < 0$ Salah

$0 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

Langkah 3.2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 < x < 2$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(0, 2)$

Langkah 4

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 5

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 5.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Langkah 5.1.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.1.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.2

Uji nilai pada interval $0 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 5.2.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Langkah 5.2.3

Sisi kiri $0$ lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 5.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Langkah 5.3.3

Tentukan apakah pertidaksamaan tersebut benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.3.3.2

Sisi kirinya tidak memiliki penyelesaian, yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Salah

$0 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

$x < 0$ Salah

$0 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

Langkah 6

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 < x < 2$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$0 < x < 2$

Notasi Interval:

$(0, 2)$

Langkah 8