Aljabar Contoh

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = x + \sqrt{x}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = x + \sqrt{x}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = y + \sqrt{y}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{y} = x - y$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan.

$y = {(x - y)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x - y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x - y)}^{2}$ sebagai $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x - y) (x - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Langkah 3.4.3.1.3.1.4

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.4.1

Pindahkan $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Langkah 3.4.3.1.3.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Langkah 3.4.3.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Langkah 3.4.3.1.3.1.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Kurangi $y x$ dengan $- x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.2.1

Pindahkan $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Langkah 3.4.3.1.3.2.2

Kurangi $x y$ dengan $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $y$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Langkah 3.5.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5.4

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ , dan $c = x^{2}$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.4

Tulis kembali $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ sebagai ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = - 2 x - 1$ dan $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1.6.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.6.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.6.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.6.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.6.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.1.6.6

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 3.5.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.4

Tulis kembali $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ sebagai ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = - 2 x - 1$ dan $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.6.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.6.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.6.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.6.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.6.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.1.6.6

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 3.5.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 3.5.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.4

Tulis kembali $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ sebagai ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = - 2 x - 1$ dan $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1.6.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.6.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.6.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.6.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.6.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.1.6.6

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 3.5.7.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 3.5.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = x + \sqrt{x}$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Bagi setiap suku pada $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Bagi setiap suku dalam $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Bagilah $- 4 x - 1$ dengan $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.3.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Langkah 5.3.2.2

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- 4 x \leq 1$

Langkah 5.3.2.3

Bagi setiap suku pada $- 4 x \leq 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Bagi setiap suku dalam $- 4 x \leq 1$ dengan $- 4$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Langkah 5.3.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Langkah 5.3.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Langkah 5.3.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Langkah 5.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = x + \sqrt{x}$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6