Aljabar Contoh

$2 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$ , $0 \leq θ < 2 π$

Langkah 1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $2 \sin^{2} (θ) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin^{2} (θ) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $\sin^{2} (θ)$ dengan $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Langkah 3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 4.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 4.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 7

Selesaikan $θ$ dalam $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Langkah 7.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Langkah 7.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 7.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 7.5

Tentukan periode dari $\sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 7.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 7.6

Periode dari fungsi $\sin (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Selesaikan $θ$ dalam $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Langkah 8.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Langkah 8.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Langkah 8.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{5 π}{4}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Langkah 8.5

Tentukan periode dari $\sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 8.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 8.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{4}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Langkah 8.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 8.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 8.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 8.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.4.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Langkah 8.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Langkah 8.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Langkah 8.7

Periode dari fungsi $\sin (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Gabungkan jawabannya.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (0)}{2}$

Langkah 11.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $π (0)$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2}$

Langkah 11.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)}$

Langkah 11.1.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1}$

Langkah 11.1.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot (0)}{1}$

Langkah 11.1.2.1.1.2.4

Bagilah $π \cdot (0)$ dengan $1$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot (0)$

Langkah 11.1.2.1.2

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Langkah 11.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 11.1.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Langkah 11.2

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (1)}{2}$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Langkah 11.2.2.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 11.2.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Langkah 11.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Langkah 11.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Langkah 11.2.2.5.2

Tambahkan $π$ dan $2 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Langkah 11.2.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Langkah 11.3

Masukkan $2$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Masukkan $2$ untuk $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (2)}{2}$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Langkah 11.3.2.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Langkah 11.3.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 11.3.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Langkah 11.3.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Langkah 11.3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Langkah 11.3.2.4.2

Tambahkan $π$ dan $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Langkah 11.3.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Langkah 11.4

Masukkan $3$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Masukkan $3$ untuk $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (3)}{2}$

Langkah 11.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.4.2.2

Untuk menuliskan $\frac{3 π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 11.4.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.3.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{4}$

Langkah 11.4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + 3 π \cdot 2}{4}$

Langkah 11.4.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{π + 6 π}{4}$

Langkah 11.4.2.5.2

Tambahkan $π$ dan $6 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Langkah 11.4.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{7 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$