Aljabar Contoh

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{8}{x}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $| x - 2 |$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Langkah 2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x | x - 2 | = 8$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $x | x - 2 | = 8$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $x | x - 2 | = 8$ dengan $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $| x - 2 |$ dengan $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Langkah 6

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Langkah 7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Langkah 7.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Langkah 7.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 7.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 7.4

Kalikan setiap suku pada $x = \frac{8}{x} + 2$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan setiap suku dalam $x = \frac{8}{x} + 2$ dengan $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.4.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Langkah 7.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 2 x = 8$

Langkah 7.5.2

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Langkah 7.5.3

Faktorkan $x^{2} - 2 x - 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 8$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 4, 2$

Langkah 7.5.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Langkah 7.5.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 7.5.5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 7.5.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 7.5.6

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.6.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 7.5.6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 7.5.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 4) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 4, - 2$

Langkah 7.6

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Langkah 7.7

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Langkah 7.8

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 7.8.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 7.9

Kalikan setiap suku pada $x = - \frac{8}{x} + 2$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Kalikan setiap suku dalam $x = - \frac{8}{x} + 2$ dengan $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.3.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{8}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.9.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Langkah 7.9.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Langkah 7.10

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Langkah 7.10.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Langkah 7.10.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.10.4

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = 8$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.5.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.3

Kurangi $32$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.4

Tulis kembali $- 28$ sebagai $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (28)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.7

Tulis kembali $28$ sebagai $2^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.5.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.10.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Langkah 7.10.5.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Langkah 7.10.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Langkah 7.11

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Langkah 8

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Langkah 9

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 0, 4, - 2$

Langkah 10

Tentukan domain dari $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur penyebut dalam $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 10.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 11

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 12

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 12.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Langkah 12.1.3

Sisi kiri $6$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 2$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 12.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 1$

Langkah 12.2.2

Ganti $x$ dengan $- 1$ pada pertidaksamaan asal.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Langkah 12.2.3

Sisi kiri $3$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 8$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 12.3

Uji nilai pada interval $0 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 12.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Langkah 12.3.3

Sisi kiri $0$ lebih kecil dari sisi kanan $4$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 12.4

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 12.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Langkah 12.4.3

Sisi kiri $4$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $1.\overline{3}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 12.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Salah

$- 2 < x < 0$ Salah

$0 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

$x < - 2$ Salah

$- 2 < x < 0$ Salah

$0 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

Langkah 13

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 < x < 4$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$0 < x < 4$

Notasi Interval:

$(0, 4)$

Langkah 15