Aljabar Contoh

$x^{7} + x^{4} + x^{3} + 1 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{7} + x^{4}) + x^{3} + 1 = 0$

Langkah 1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{4} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Langkah 1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1^{3}) (x^{4} + 1) = 0$

Langkah 1.4

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Langkah 1.5.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{4} + 1 = 0$

Langkah 3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 4

Atur $x^{2} - x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x^{2} - x + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x^{2} - x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 1$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 5

Atur $x^{4} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x^{4} + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{4} + 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x^{4} + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{4} = - 1$

Langkah 5.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 5.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 5.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 5.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$