Aljabar Contoh

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Langkah 1

Ubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Langkah 2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis dalam bentuk eksponensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk persamaan logaritma, $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ sedemikian rupa sehingga $x > 0$ , $b > 0$ , dan $b \neq 1$ . Dalam hal ini, $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ , dan $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Langkah 2.1.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ , $x$ , dan $y$ ke dalam persamaan $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Langkah 2.2.2

Karena eksponennya sama, bilangan pokok dari eksponen pada kedua sisi persamaan harus sama.

$| x - 1 | = | 3 |$

Langkah 2.2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Langkah 2.2.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Langkah 2.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x - 1 = 3$

Langkah 2.2.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3 + 1$

Langkah 2.2.3.3.2.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$x = 4$

Langkah 2.2.3.3.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x - 1 = - 3$

Langkah 2.2.3.3.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.3.4.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = - 3 + 1$

Langkah 2.2.3.3.4.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$x = - 2$

Langkah 2.2.3.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 4, - 2$

Langkah 3

Tentukan domain dari $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x - 1 | > | 0 |$

Langkah 3.2.2.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Langkah 3.2.3

Tulis $| x - 1 | > 0$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x - 1 \geq 0$

Langkah 3.2.3.2

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq 1$

Langkah 3.2.3.3

Pada bagian di mana $x - 1$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x - 1 > 0$

Langkah 3.2.3.4

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x - 1 < 0$

Langkah 3.2.3.5

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < 1$

Langkah 3.2.3.6

Pada bagian di mana $x - 1$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Langkah 3.2.3.7

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Langkah 3.2.3.8

Sederhanakan $- (x - 1) > 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.8.1

Terapkan sifat distributif.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Langkah 3.2.3.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Langkah 3.2.4

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x > 1$

Langkah 3.2.5

Selesaikan $- x + 1 > 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x > - 1$

Langkah 3.2.5.2

Bagi setiap suku pada $- x > - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x > - 1$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.2.5.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x < 1$

Langkah 3.2.6

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x < 1$ atau $x > 1$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 4

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 5

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 5.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Langkah 5.1.3

Sisi kiri $2.92994704$ lebih besar dari sisi kanan $2$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 5.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Langkah 5.2.3

Sisi kiri $0$ tidak lebih besar dari sisi kanan $2$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.3

Uji nilai pada interval $1 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 5.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Langkah 5.3.3

Sisi kiri $0$ tidak lebih besar dari sisi kanan $2$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.4

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 5.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Langkah 5.4.3

Sisi kiri $2.92994704$ lebih besar dari sisi kanan $2$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 1$ Salah

$1 < x < 4$ Salah

$x > 4$ Benar

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 1$ Salah

$1 < x < 4$ Salah

$x > 4$ Benar

Langkah 6

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 2$ atau $x > 4$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x < - 2 or x > 4$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Langkah 8