Aljabar Contoh

$\sqrt{x^{2} - x - 2} < \sqrt{x^{2} + 3 x + 2}$

Langkah 1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{x^{2} - x - 2}}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ sebagai ${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Langkah 2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x^{2} - x - 2)}^{1} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan ${\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $x^{2} + 3 x + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $2$ dan jumlahnya $3$ .

$1, 2$

Langkah 2.3.1.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ sebagai ${((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x - 2 < {({((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.3.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.3.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.3.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{1}$

Langkah 2.3.1.2.5

Sederhanakan.

$x^{2} - x - 2 < (x + 1) (x + 2)$

Langkah 2.3.1.3

Perluas $(x + 1) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - x - 2 < x (x + 2) + 1 (x + 2)$

Langkah 2.3.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)$

Langkah 2.3.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 2$

Langkah 2.3.1.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 3 x + 2$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $x^{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} < 3 x + 2$

Langkah 3.1.2

Kurangkan $3 x$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x < 2$

Langkah 3.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$- x - 2 + 0 - 3 x < 2$

Langkah 3.1.3.2

Tambahkan $- x - 2$ dan $0$ .

$- x - 2 - 3 x < 2$

Langkah 3.1.4

Kurangi $3 x$ dengan $- x$ .

$- 4 x - 2 < 2$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $2$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- 4 x < 2 + 2$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- 4 x < 4$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $- 4 x < 4$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi setiap suku dalam $- 4 x < 4$ dengan $- 4$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{4}{- 4}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$x > - 1$

Langkah 4

Tentukan domain dari $\sqrt{(x - 2) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x - 2) (x + 1)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x - 2) (x + 1) \geq 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 4.2.2

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.2.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 4.2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 4.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (x + 1) \geq 0$ benar.

$x = 2, - 1$

Langkah 4.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 4.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 4.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 4) - 2) ((- 4) + 1) \geq 0$

Langkah 4.2.6.1.3

Sisi kiri $18$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 4.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) - 2) ((0) + 1) \geq 0$

Langkah 4.2.6.2.3

Sisi kiri $- 2$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 4.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 4.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$((4) - 2) ((4) + 1) \geq 0$

Langkah 4.2.6.3.3

Sisi kiri $10$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 4.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 1$ atau $x \geq 2$

Langkah 4.3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 1) (x + 2) \geq 0$

Langkah 4.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 4.4.2

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 4.4.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 4.4.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.4.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.4.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x + 2) \geq 0$ benar.

$x = - 1, - 2$

Langkah 4.4.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$x > - 1$

Langkah 4.4.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 4.4.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 4) + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Langkah 4.4.6.1.3

Sisi kiri $6$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.4.6.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 1.5$

Langkah 4.4.6.2.2

Ganti $x$ dengan $- 1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 1.5) + 1) ((- 1.5) + 2) \geq 0$

Langkah 4.4.6.2.3

Sisi kiri $- 0.25$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 4.4.6.3

Uji nilai pada interval $x > - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 4.4.6.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Langkah 4.4.6.3.3

Sisi kiri $2$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.4.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < - 1$ Salah

$x > - 1$ Benar

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < - 1$ Salah

$x > - 1$ Benar

Langkah 4.4.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 2$ atau $x \geq - 1$

Langkah 4.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 2] \cup [- 1, - 1] \cup [2, \infty)$

Langkah 5

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x > 2$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x > 2$

Notasi Interval:

$(2, \infty)$

Langkah 7