Aljabar Contoh

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{1}{y^{2} - 1}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{y^{2} - 1} = x$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} = x$

Langkah 3.2

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}} = x$

Langkah 3.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$

Langkah 3.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$(y + 1) (y - 1), 1$

Langkah 3.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$(y + 1) (y - 1)$

Langkah 3.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ dengan $(y + 1) (y - 1)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ dengan $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $(y + 1) (y - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = x ((y + 1) (y - 1))$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Perluas $(y + 1) (y - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 = x (y (y - 1) + 1 (y - 1))$

Langkah 3.4.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1))$

Langkah 3.4.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$1 = x (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$1 = x (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Langkah 3.4.3.2.1.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$1 = x (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Langkah 3.4.3.2.1.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1)$

Langkah 3.4.3.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y - 1)$

Langkah 3.4.3.2.2

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$1 = x (y^{2} + 0 - 1)$

Langkah 3.4.3.2.3

Tambahkan $y^{2}$ dan $0$ .

$1 = x (y^{2} - 1)$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$1 = x y^{2} + x \cdot - 1$

Langkah 3.4.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$1 = x y^{2} - 1 \cdot x$

Langkah 3.4.3.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$1 = x y^{2} - x$

Langkah 3.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x y^{2} - x = 1$ .

$x y^{2} - x = 1$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$x y^{2} = 1 + x$

Langkah 3.5.3

Bagi setiap suku pada $x y^{2} = 1 + x$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y^{2} = 1 + x$ dengan $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 3.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 3.5.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{1}{x} + 1$

Langkah 3.5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$

Langkah 3.5.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Langkah 3.5.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{x}}$

Langkah 3.5.5.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1 + x}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 3.5.5.4

Kalikan $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 3.5.5.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 3.5.5.5.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Langkah 3.5.5.5.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Langkah 3.5.5.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.5.5.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 3.5.5.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.5.5.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.5.5.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.5.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.5.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Langkah 3.5.5.5.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x}$

Langkah 3.5.5.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$

Langkah 3.5.5.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Langkah 3.5.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Langkah 3.5.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Langkah 3.5.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x (1 + x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x (1 + x) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

Langkah 5.3.2.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.3.2.3

Atur $1 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Atur $1 + x$ sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

Langkah 5.3.2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5.3.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (1 + x) \geq 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 5.3.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Langkah 5.3.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 5.3.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$- 4 (1 - 4) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.1.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 0.5$

Langkah 5.3.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $- 0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$- 0.5 (1 - 0.5) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.2.3

Sisi kiri $- 0.25$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 5.3.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$2 (1 + 2) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.3.3

Sisi kiri $6$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 0$ Salah

$x > 0$ Benar

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 0$ Salah

$x > 0$ Benar

Langkah 5.3.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 1$ atau $x \geq 0$

Langkah 5.3.3

Atur penyebut dalam $\frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 5.3.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

Langkah 5.4

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2} - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 5.4.2.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 5.4.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 5.4.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 5.4.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 5.4.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5.5

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ adalah daerah hasil dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ dan daerah hasil dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ adalah domain dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Langkah 6