Aljabar Contoh

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 2.2.1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 2.2.1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 2.2.1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ dengan $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.1.3.2

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.1.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x + 2$ dan ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.4.1

Faktorkan $x + 2$ dari $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.4.2.1

Faktorkan $x + 2$ dari ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Langkah 2.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Langkah 2.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x + 2, 1$

Langkah 3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$x + 2, 1$

Langkah 3.2.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x + 2$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ dengan $x + 2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ dengan $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x = 12 (x + 2)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Langkah 3.3.3.2

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kurangkan $12 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x - 12 x = 24$

Langkah 3.4.1.2

Kurangi $12 x$ dengan $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $- 9 x = 24$ dengan $- 9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- 9 x = 24$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $- 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Langkah 3.4.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Langkah 3.4.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Langkah 3.4.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{8}{- 3}$

Langkah 3.4.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{8}{3}$

Langkah 4

Tentukan domain dari $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{12}{x (x + 2)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x (x + 2) = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 4.2.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 4.2.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.2.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Langkah 4.3

Atur penyebut dalam $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.4.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Langkah 6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Uji nilai pada interval $x < - \frac{8}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \frac{8}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 5$

Langkah 6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Langkah 6.1.3

Sisi kiri $0.8$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.\overline{3}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 6.2

Uji nilai pada interval $- \frac{8}{3} < x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{8}{3} < x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2.33$

Langkah 6.2.2

Ganti $x$ dengan $- 2.33$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Langkah 6.2.3

Sisi kiri $15.60671088$ lebih kecil dari sisi kanan $27.54820936$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 6.3

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 1$

Langkah 6.3.2

Ganti $x$ dengan $- 1$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Langkah 6.3.3

Sisi kiri $- 12$ lebih kecil dari sisi kanan $3$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 6.4

Uji nilai pada interval $x > 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 6.4.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Langkah 6.4.3

Sisi kiri $1.5$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.1875$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 6.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \frac{8}{3}$ Salah

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 0$ Benar

$x > 0$ Salah

$x < - \frac{8}{3}$ Salah

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 0$ Benar

$x > 0$ Salah

Langkah 7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ atau $- 2 < x < 0$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Notasi Interval:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Langkah 9