ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$y = \cos (x - \frac{π}{8})$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = x - \frac{π}{8}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - \frac{π}{8}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - \frac{π}{8}$ से बदलें.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{π}{8}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ है.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{8}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{8}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

चरण 1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

चरण 1.2.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (x - \frac{π}{8})$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (x - \frac{π}{8})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{8})]$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x - \frac{π}{8})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x - \frac{π}{8}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - \frac{π}{8}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - \frac{π}{8}$ से बदलें.

$f'' (x) = - (\cos (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{8}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{8}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

चरण 2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

चरण 2.3.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8})$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

चरण 4

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \sin (x - \frac{π}{8})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\sin (x - \frac{π}{8})}{1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 4.2.2

$\sin (x - \frac{π}{8})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x - \frac{π}{8}) = \frac{0}{- 1}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

चरण 5

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x - \frac{π}{8} = \arcsin (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x - \frac{π}{8} = 0$

चरण 7

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{8}$ जोड़ें.

$x = \frac{π}{8}$

चरण 8

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x - \frac{π}{8} = π - 0$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x - \frac{π}{8} = π$

चरण 9.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{8}$ जोड़ें.

$x = π + \frac{π}{8}$

चरण 9.2.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

चरण 9.2.3

$π$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

चरण 9.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

चरण 9.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1

$8$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

चरण 9.2.5.2

$8 π$ और $π$ जोड़ें.

$x = \frac{9 π}{8}$

चरण 10

समीकरण का हल $x - \frac{π}{8} = 0$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{9 π}{8}$

चरण 11

$x = \frac{π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \cos (\frac{π - π}{8})$

चरण 12.2

$π$ में से $π$ घटाएं.

$- \cos (\frac{0}{8})$

चरण 12.3

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$- \cos (0)$

चरण 12.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 12.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 13

$x = \frac{π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14

$x = \frac{π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{8}) = \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π - π}{8})$

चरण 14.2.2

$π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{0}{8})$

चरण 14.2.3

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (0)$

चरण 14.2.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{8}) = 1$

चरण 14.2.5

अंतिम उत्तर $1$ है.

$y = 1$

चरण 15

$x = \frac{9 π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

चरण 16

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \cos (\frac{9 π - π}{8})$

चरण 16.2

$9 π$ में से $π$ घटाएं.

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

चरण 16.3

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

चरण 16.3.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \cos (π)$

चरण 16.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- - \cos (0)$

चरण 16.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- (- 1 \cdot 1)$

चरण 16.6

$- (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- - 1$

चरण 16.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1$

चरण 17

$x = \frac{9 π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{9 π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 18

$x = \frac{9 π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{9 π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{9 π - π}{8})$

चरण 18.2.2

$9 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

चरण 18.2.3

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

चरण 18.2.3.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (π)$

चरण 18.2.4

$f (\frac{9 π}{8}) = - \cos (0)$

चरण 18.2.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1 \cdot 1$

चरण 18.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1$

चरण 18.2.7

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$y = - 1$

चरण 19

ये $f (x) = \cos (x - \frac{π}{8})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{π}{8}, 1)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{9 π}{8}, - 1)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 20