ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

चरण 1

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

चरण 2.1.3

$- 0.\overline{6}$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 0.\overline{6}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$- 0.\overline{6}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

चरण 2.1.3.2

$- 0.\overline{6}$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

चरण 2.1.3.3

$3$ को $- 0.\overline{296}$ से गुणा करें.

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

चरण 2.1.3.4

$- 0.\overline{6}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

चरण 2.1.3.5

$- 16$ को $0.\overline{4}$ से गुणा करें.

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

चरण 2.1.3.6

$- 0.\overline{8}$ में से $7.11111111$ घटाएं.

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

चरण 2.1.3.7

$- 30$ को $- 0.\overline{6}$ से गुणा करें.

$- 8 + 20 - 12$

चरण 2.1.3.8

$- 8$ और $20$ जोड़ें.

$12 - 12$

चरण 2.1.3.9

$12$ में से $12$ घटाएं.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $- 0.\overline{6}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $3 x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

चरण 2.1.5

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ को $3 x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $3 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $- 18 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 18 x^{2} - 12 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 2.1.5.10

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $- 18 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 18 x - 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

चरण 2.1.5.15

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 6 x - 6$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ लिखें.

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

चरण 2.3

$3 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$3 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x + 2 = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $3 x + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$3 x = - 2$

चरण 2.3.2.2

$3 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$3 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{2}{3}$

चरण 2.4

$x^{2} - 6 x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2} - 6 x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 6$ और $c = - 6$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.3

$36$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.4

$60$ को $2^{2} \cdot 15$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.4.1

$60$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

चरण 2.4.2.3.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

चरण 2.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

चरण 3

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

दशमलव रूप:

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

चरण 4