ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$g (x) = - \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) - 1$

चरण 1

अनन्तस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

किसी भी $y = \csc (x)$ के लिए, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी $x = n π$ पर आते हैं, जहां $n$ एक पूर्णांक है. $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ के लिए मूलभूत अवधि का उपयोग करके $y = - \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) - 1$ के लिए ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी ज्ञात करें. $y = a \csc (b x + c) + d$ के लिए $0$ के बराबर व्युत्क्रमज्या फलन, $b x + c$ के अंदर सेट करें, यह पता करने के लिए कि $y = - \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) - 1$ के लिए ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी कहां है.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{4}$ जोड़ें.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

चरण 1.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

चरण 1.2.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 \frac{π}{4}$

चरण 1.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

चरण 1.2.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 1.3

व्युतक्रमज्या फलन के अंदर $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ को $2 π$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

चरण 1.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{4}$ जोड़ें.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

चरण 1.4.1.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 1.4.1.3

$2 π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 1.4.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

चरण 1.4.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.5.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

चरण 1.4.1.5.2

$8 π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

चरण 1.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

चरण 1.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

चरण 1.4.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

चरण 1.4.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

चरण 1.4.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

चरण 1.4.3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{9 π}{2}$

चरण 1.5

$y = - \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) - 1$ की मूल अवधि $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ पर होगी, जहां $\frac{π}{2}$ और $\frac{9 π}{2}$ ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हैं.

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

चरण 1.6

$\frac{2 π}{| b |}$ आवर्त ज्ञात कीजिए कि ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी कहाँ मौजूद हैं. ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हर आधे अवधि में होते हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 1.6.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 1.6.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 1.7

$y = - \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) - 1$ के लिए ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी $\frac{π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ और प्रत्येक $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ पर होते हैं, जहां $n$ एक पूर्णांक है. यह अवधि का आधा है.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

चरण 1.8

व्युत्क्रमज्या में केवल ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होते हैं.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ जहां $n$ एक पूर्णांक है

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ जहां $n$ एक पूर्णांक है

चरण 2

आयाम, अवधि, चरण बदलाव और ऊर्ध्वाधर बदलाव को पता करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले चर को पता करने के लिए रूप $a \csc (b x - c) + d$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{π}{4}$

$d = - 1$

चरण 3

चूंकि फलन $c s c$ के ग्राफ़ में अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है, इसलिए आयाम के लिए कोई मान नहीं हो सकता है.

आयाम: कोई नहीं

चरण 4

सूत्र $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके अवधि पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.1.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

चरण 4.1.3

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 4.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 4.1.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 4.2

$- 1$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

चरण 4.2.3

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 4.2.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 4.3

त्रिकोणमितीय फलन के जोड़/घटाव का आवर्त व्यक्तिगत आवर्तो की अधिकतम है.

$4 π$

चरण 5

सूत्र $\frac{c}{b}$ का उपयोग करके चरण बदलाव पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

फलन के चरण बदलाव की गणना $\frac{c}{b}$ से की जा सकती है.

चरण बदलाव: $\frac{c}{b}$

चरण 5.2

चरण बदलाव के समीकरण में $c$ और $b$ के मान बदलें.

चरण बदलाव: $\frac{\frac{π}{4}}{\frac{1}{2}}$

चरण 5.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{4} \cdot 2$

चरण 5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{2 (2)} \cdot 2$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2$

चरण 5.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

चरण बदलाव: $\frac{π}{2}$

चरण 6

त्रिकोणमितीय फलन के गुणों की सूची बनाइए.

आयाम: कोई नहीं

आवर्त: $4 π$

चरण बदलाव: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ दाईं ओर)

ऊर्ध्वाधर बदलाव: $- 1$

चरण 7

त्रिकोणमितीय फलन को आयाम, अवधि, चरण बदलाव, ऊर्ध्वाधर बदलाव और बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ जहां $n$ एक पूर्णांक है

आयाम: कोई नहीं

आवर्त: $4 π$

चरण बदलाव: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ दाईं ओर)

ऊर्ध्वाधर बदलाव: $- 1$

चरण 8