ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

चरण 1

निरपेक्ष मान शीर्ष ज्ञात कीजिए. इस स्थिति में, $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ का शीर्ष $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

शीर्ष के $x$ निर्देशांक को पता करने के लिए, निरपेक्ष मान $\cos (\frac{π x}{2})$ के अंदर $0$ के बराबर सेट करें. इस स्थिति में, $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

चरण 1.2

निरपेक्ष मान शीर्ष के लिए $x$ निर्देशांक ज्ञात करने के लिए समीकरण $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

चरण 1.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3

चूंकि समीकरण के प्रत्येक पक्ष के व्यंजक का हर समान होता है, इसलिए भाजक बराबर होने चाहिए.

$π x = π$

चरण 1.2.4

$π x = π$ के प्रत्येक पद को $π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$π x = π$ के प्रत्येक पद को $π$ से विभाजित करें.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

चरण 1.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

चरण 1.2.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{π}$

चरण 1.2.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{π}{π}$

चरण 1.2.4.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 1$

चरण 1.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{2}{π}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1.1

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.1.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1.1.2.1

$π x$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1

$\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.2.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 1.2.6.2.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 1.2.6.2.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 1.2.6.2.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

चरण 1.2.6.2.2.1.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

चरण 1.2.6.2.2.1.6

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

चरण 1.2.6.2.2.1.7

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1.7.1

$3 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

चरण 1.2.6.2.2.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

चरण 1.2.6.2.2.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 3$

चरण 1.2.7

$\cos (\frac{π x}{2})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 1.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{π}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

चरण 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ लगभग $1.57079632$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

चरण 1.2.7.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \frac{2}{π}$

चरण 1.2.7.5

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.5.1

$2 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

चरण 1.2.7.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

चरण 1.2.7.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \cdot 2$

चरण 1.2.7.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4$

चरण 1.2.8

$\cos (\frac{π x}{2})$ फलन की अवधि $4$ है, इसलिए मान प्रत्येक $4$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.9

उत्तरों को समेकित करें.

$x = 1 + 2 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3

व्यंजक में चर $x$ को $1 + 2 n$ से बदलें.

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

चरण 1.4

निरपेक्ष मान शीर्ष $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ है.

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

चरण 2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

निरपेक्ष मान को शीर्ष $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ के आसपास के बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

चरण 4