प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

चरण 4.1.3

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

चरण 4.1.5

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

चरण 4.1.6

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ और $3$ जोड़ें.

$4 - 6 - 6 + 8$

चरण 4.2.2

$4$ में से $6$ घटाएं.

$- 2 - 6 + 8$

चरण 4.2.3

$- 2$ में से $6$ घटाएं.

$- 8 + 8$

चरण 4.2.4

$- 8$ और $8$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

चरण 6.5

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(- 6)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

चरण 6.6

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

चरण 6.7

परिणाम $(- 2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(6)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

चरण 6.8

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

चरण 6.9

परिणाम $(8)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 8)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

चरण 6.10

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

चरण 7

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

चरण 8

महत्तम समापवर्तक, $x - 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

चरण 9

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

चरण 9.2

$- 3 x^{3} + 6 x$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 3 x^{3}$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

चरण 9.2.2

$6 x$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

चरण 9.2.3

$- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

चरण 9.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

चरण 9.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

चरण 9.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 6 u + 8$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $8$ है और जिसका योग $- 6$ है.

$- 4, - 2$

चरण 9.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

चरण 9.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

चरण 9.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

चरण 9.8

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

चरण 9.9

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.9.1

$- 3 x (x^{2} - 2)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

चरण 9.9.2

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 9.9.3

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 9.10

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

चरण 9.10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

चरण 9.10.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 9.11

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.11.1

गुणनखंडों को $x \cdot - 2$ और $2 x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 9.11.2

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 9.11.3

$x \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 9.12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.12.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 9.12.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

चरण 9.13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

चरण 9.14

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.14.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.14.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 4, 1$

चरण 9.14.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

चरण 9.14.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

चरण 10

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 11

$x^{2} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{2} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 2 = 0$

चरण 11.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x^{2} = 2$

चरण 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

चरण 11.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2}$

चरण 11.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2}$

चरण 11.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

चरण 12

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 12.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 13

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 13.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 14

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

चरण 15

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

दशमलव रूप:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

चरण 16