प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

चरण 1

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

चरण 2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 9 x + 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $18$ है और जिसका योग $- 9$ है.

$- 6, - 3$

चरण 2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

चरण 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 4

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 6) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, 3$

चरण 7

समीकरण के दोनों पक्षों में $25$ जोड़ें.

$4 x^{2} = 25$

चरण 8

$4 x^{2} = 25$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$4 x^{2} = 25$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

चरण 8.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

चरण 9

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

चरण 10

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ को $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

चरण 10.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

चरण 10.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

चरण 10.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

चरण 10.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{5}{2}$

चरण 11

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{5}{2}$

चरण 11.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{5}{2}$

चरण 11.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

चरण 12

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

चरण 13

हल समेकित करें.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

चरण 14

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$4 x^{2} - 25 = 0$

चरण 14.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $25$ जोड़ें.

$4 x^{2} = 25$

चरण 14.2.2

$4 x^{2} = 25$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

$4 x^{2} = 25$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

चरण 14.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

चरण 14.2.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

चरण 14.2.3

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

चरण 14.2.4

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.4.1

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ को $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

चरण 14.2.4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.4.2.1

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

चरण 14.2.4.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

चरण 14.2.4.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.4.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

चरण 14.2.4.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{5}{2}$

चरण 14.2.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{5}{2}$

चरण 14.2.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{5}{2}$

चरण 14.2.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

चरण 14.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

चरण 15

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

चरण 16

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

अंतराल $x < - \frac{5}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

अंतराल $x < - \frac{5}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 5$

चरण 16.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 5$ से बदलें.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

चरण 16.1.3

बाईं ओर $1.17\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 16.2

अंतराल $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

अंतराल $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 16.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

चरण 16.2.3

बाईं ओर $- 0.72$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 16.3

अंतराल $\frac{5}{2} < x < 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

अंतराल $\frac{5}{2} < x < 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2.75$

चरण 16.3.2

मूल असमानता में $x$ को $2.75$ से बदलें.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

चरण 16.3.3

बाईं ओर $0.1547619$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 16.4

अंतराल $3 < x < 6$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

अंतराल $3 < x < 6$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 16.4.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

चरण 16.4.3

बाईं ओर $- 0.\overline{051282}$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 16.5

अंतराल $x > 6$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

अंतराल $x > 6$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 8$

चरण 16.5.2

मूल असमानता में $x$ को $8$ से बदलें.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

चरण 16.5.3

बाईं ओर $0.\overline{043290}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 16.6

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - \frac{5}{2}$ गलत

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ सही

$\frac{5}{2} < x < 3$ गलत

$3 < x < 6$ सही

$x > 6$ गलत

$x < - \frac{5}{2}$ गलत

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ सही

$\frac{5}{2} < x < 3$ गलत

$3 < x < 6$ सही

$x > 6$ गलत

चरण 17

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ या $3 \leq x \leq 6$

चरण 18

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

चरण 19