प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$

चरण 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

चरण 2.1.2

$- 8 x^{3} - 8 x$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$- 8 x^{3}$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

चरण 2.1.2.2

$- 8 x$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

चरण 2.1.2.3

$- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

चरण 2.1.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 42 x^{2} + 41 = 0$

चरण 2.1.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 42 u + 41 = 0$

चरण 2.1.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + 42 u + 41$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $41$ है और जिसका योग $42$ है.

$1, 41$

चरण 2.1.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 41) = 0$

चरण 2.1.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

चरण 2.1.7

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.7.1

$- 8 x (x^{2} + 1)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

चरण 2.1.7.2

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 41) = 0$

चरण 2.1.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

चरण 2.3

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $x^{2} + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 2.3.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 2.3.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 2.3.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 2.4

$x^{2} - 8 x + 41$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2} - 8 x + 41$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 8 x + 41 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 8$ और $c = 41$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $41$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.3

$64$ में से $164$ घटाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.4

$- 100$ को $- 1 (100)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.7

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.9

$10$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

चरण 2.4.2.3.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 4 \pm 5 i$

चरण 2.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 4 + 5 i, 4 - 5 i$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = i, - i, 4 + 5 i, 4 - 5 i$

चरण 3