प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{x^{2}}{25}$ घटाएं.

$- \frac{y^{2}}{144} = 1 - \frac{x^{2}}{25}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों को $- 144$ से गुणा करें.

$- 144 (- \frac{y^{2}}{144}) = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 144 (- \frac{y^{2}}{144})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$144$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1.1

$- \frac{y^{2}}{144}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 144 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.1.1.1.2

$- 144$ में से $144$ का गुणनखंड करें.

$144 (- 1) \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.1.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$144 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.1.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- - y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.1.1.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.1.1.2.2

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = - 144 \cdot 1 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.2.1.2

$- 144$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} = - 144 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

चरण 3.2.1.3

$- 144 (- \frac{x^{2}}{25})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.3.1

$- 1$ को $- 144$ से गुणा करें.

$y^{2} = - 144 + 144 \frac{x^{2}}{25}$

चरण 3.2.1.3.2

$144$ और $\frac{x^{2}}{25}$ को मिलाएं.

$y^{2} = - 144 + \frac{144 x^{2}}{25}$

चरण 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$

चरण 5

$\pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$144 x^{2}$ को ${(12 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{25}}$

चरण 5.2

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}}$

चरण 5.3

$\frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}$ को ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 144 + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

चरण 5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$144$ को $12^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 12^{2} + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

चरण 5.4.2

$- 12^{2}$ और ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12 x}{5})}^{2} - 12^{2}}$

चरण 5.5

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \frac{12 x}{5}$ और $b = 12$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{12 x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{12 x}{5} + 12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

$\frac{12 x}{5}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

चरण 5.6.1.2

$12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12 (1)) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

चरण 5.6.1.3

$12 \frac{x}{5} + 12 (1)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

चरण 5.6.2

$\frac{12 x}{5} - 12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$\frac{12 x}{5}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} - 12)}$

चरण 5.6.2.2

$- 12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} + 12 (- 1))}$

चरण 5.6.2.3

$12 \frac{x}{5} + 12 (- 1)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 (\frac{x}{5} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) \cdot 12 (\frac{x}{5} - 1)}$

चरण 5.6.3

$12$ को $12$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}$

चरण 5.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}$

चरण 5.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}$

चरण 5.9

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}$

चरण 5.10

$- 1$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}$

चरण 5.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

चरण 5.12

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 5}{5}}$

चरण 5.13

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.13.1

$144$ और $\frac{x + 5}{5}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5)}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}$

चरण 5.13.2

$\frac{144 (x + 5)}{5}$ को $\frac{x - 5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}$

चरण 5.13.3

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}}$

चरण 5.14

$\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}$ को ${(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.14.1

$144 (x + 5) (x - 5)$ में से पूर्ण घात $12^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}$

चरण 5.14.2

$25$ में से पूर्ण घात $5^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}$

चरण 5.14.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}$

चरण 5.15

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{12}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$

चरण 5.16

$\frac{12}{5}$ और $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

चरण 6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

चरण 6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

चरण 6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

चरण 7

रेडिकैंड को $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$(x + 5) (x - 5) \geq 0$

चरण 8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

चरण 8.2

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 5 = 0$

चरण 8.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$x = - 5$

चरण 8.3

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

चरण 8.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 8.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 5) (x - 5) \geq 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 5, 5$

चरण 8.5

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

चरण 8.6

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

अंतराल $x < - 5$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1.1

अंतराल $x < - 5$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 8$

चरण 8.6.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 8$ से बदलें.

$((- 8) + 5) ((- 8) - 5) \geq 0$

चरण 8.6.1.3

बाईं ओर $39$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 8.6.2

अंतराल $- 5 < x < 5$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.2.1

अंतराल $- 5 < x < 5$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 8.6.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$((0) + 5) ((0) - 5) \geq 0$

चरण 8.6.2.3

बाईं ओर $- 25$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 8.6.3

अंतराल $x > 5$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.3.1

अंतराल $x > 5$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 8$

चरण 8.6.3.2

मूल असमानता में $x$ को $8$ से बदलें.

$((8) + 5) ((8) - 5) \geq 0$

चरण 8.6.3.3

बाईं ओर $39$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 8.6.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 5$ सही

$- 5 < x < 5$ गलत

$x > 5$ सही

$x < - 5$ सही

$- 5 < x < 5$ गलत

$x > 5$ सही

चरण 8.7

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq - 5$ या $x \geq 5$

चरण 9

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \leq - 5, x \geq 5}$

चरण 10

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${y | y \in ℝ}$

चरण 11

डोमेन और परिसर निर्धारित करें.

डोमेन: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {x | x \leq - 5, x \geq 5}$

परिसर: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

चरण 12