प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x = 4 + 2 \cos (t)$ , $y = - 1 + 4 \sin (t)$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2

$4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ को सरल करें.

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चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 2.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$ है.

$x = 4 + 2 \sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = 4 + 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(1 + \frac{y}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4

सरल करें.

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चरण 2.1.4.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4 + 1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4.3

$4$ और $1$ जोड़ें.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - \frac{y}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4 - 1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.4.7

$4$ में से $1$ घटाएं.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot \frac{- y + 3}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.7

$\frac{y + 5}{4}$ को $\frac{- y + 3}{4}$ से गुणा करें.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{4 \cdot 4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.8

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.9

$\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}$ को ${(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))$ के रूप में फिर से लिखें.

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चरण 2.1.9.1

$(y + 5) (- y + 3)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.9.2

$16$ में से पूर्ण घात $4^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.9.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.10

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = 4 + 2 (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(y + 5) (- y + 3)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.11

$\frac{1}{4}$ और $\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}$ को मिलाएं.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{4})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 2.1.12.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 (2)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 \cdot 2})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.1.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.2

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.3

$4$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{4 \cdot 2 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

चरण 2.5

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$