प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

चरण 1

पहले असमानता को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

इस प्रकार फिर से लिखें कि $x$ असमानता के बाईं ओर है.

$4^{x} < y$ और $y < 8 - x^{2}$

चरण 1.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ और $y < 8 - x^{2}$

चरण 1.3

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (4^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (4) < \ln (y)$ और $y < 8 - x^{2}$

चरण 1.4

$x \ln (4) < \ln (y)$ के प्रत्येक पद को $\ln (4)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x \ln (4) < \ln (y)$ के प्रत्येक पद को $\ln (4)$ से विभाजित करें.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < 8 - x^{2}$

चरण 1.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$\ln (4)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < 8 - x^{2}$

चरण 1.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < 8 - x^{2}$

चरण 2

दूसरी असमानता को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

इस प्रकार फिर से लिखें कि $x$ असमानता के बाईं ओर है.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $8 - x^{2} > y$

चरण 2.2

असमानता के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- x^{2} > y - 8$

चरण 2.3

$- x^{2} > y - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- x^{2} > y - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.3.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{y}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.3.3.1.2

$- 1 \cdot y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.3.3.1.3

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $x^{2} < - y + 8$

चरण 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

चरण 2.5

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $| x | < \sqrt{- y + 8}$

चरण 2.6

$| x | < \sqrt{- y + 8}$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 2.6.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x < \sqrt{- y + 8}$

चरण 2.6.3

$x < \sqrt{- y + 8}$ का डोमेन ज्ञात करें और $x \geq 0$ के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1

$x < \sqrt{- y + 8}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{- y + 8}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$- y + 8 \geq 0$

चरण 2.6.3.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$- y \geq - 8$

चरण 2.6.3.1.2.2

$- y \geq - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1.2.2.1

$- y \geq - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.6.3.1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.6.3.1.2.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.6.3.1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1.2.2.3.1

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y \leq 8$

चरण 2.6.3.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 8]$

चरण 2.6.3.2

$x \geq 0$ और $(- \infty, 8]$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$0 \leq x \leq 8$

चरण 2.6.4

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 2.6.5

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x < \sqrt{- y + 8}$

चरण 2.6.6

$- x < \sqrt{- y + 8}$ का डोमेन ज्ञात करें और $x < 0$ के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1

$- x < \sqrt{- y + 8}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1.1

$- y + 8 \geq 0$

चरण 2.6.6.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$- y \geq - 8$

चरण 2.6.6.1.2.2

$- y \geq - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1.2.2.1

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.6.6.1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.6.6.1.2.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.6.6.1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1.2.2.3.1

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y \leq 8$

चरण 2.6.6.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 8]$

चरण 2.6.6.2

$x < 0$ और $(- \infty, 8]$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x < 0$

चरण 2.6.7

अलग-अलग रूप में लिखें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

चरण 2.7

$x < \sqrt{- y + 8}$ को हल करें जब $0 \leq x \leq 8$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$y$ के लिए $x < \sqrt{- y + 8}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

इस प्रकार फिर से लिखें कि $y$ असमानता के बाईं ओर है.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\sqrt{- y + 8} > x$

चरण 2.7.1.2

असमानता के बाईं पक्ष की ओर करणी को हटाने के लिए, असमानता के दोनों किनारों को वर्ग करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

चरण 2.7.1.3

असमानता के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.3.1

$\sqrt{- y + 8}$ को ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

चरण 2.7.1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.3.2.1

${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.3.2.1.1

घातांक को ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

चरण 2.7.1.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

चरण 2.7.1.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > x^{2}$

चरण 2.7.1.3.2.1.2

सरल करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > x^{2}$

चरण 2.7.1.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.4.1

असमानता के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y > x^{2} - 8$

चरण 2.7.1.4.2

$- y > x^{2} - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.4.2.1

$- y > x^{2} - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.7.1.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.4.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.7.1.4.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.7.1.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.4.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.4.2.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{x^{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.7.1.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.7.1.4.2.3.1.3

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < - x^{2} + 8$

चरण 2.7.2

$y < - x^{2} + 8$ और $0 \leq x \leq 8$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

चरण 2.8

$- x < \sqrt{- y + 8}$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$y$ के लिए $- x < \sqrt{- y + 8}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.1

इस प्रकार फिर से लिखें कि $y$ असमानता के बाईं ओर है.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\sqrt{- y + 8} > - x$

चरण 2.8.1.2

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

चरण 2.8.1.3

असमानता के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.1

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

चरण 2.8.1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.2.1

${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.2.1.1

घातांक को ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

चरण 2.8.1.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

चरण 2.8.1.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

चरण 2.8.1.3.2.1.2

सरल करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

चरण 2.8.1.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.3.1

${(- x)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.3.3.1.1

उत्पाद नियम को $- x$ पर लागू करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

चरण 2.8.1.3.3.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > 1 x^{2}$

चरण 2.8.1.3.3.1.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y + 8 > x^{2}$

चरण 2.8.1.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.4.1

असमानता के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $- y > x^{2} - 8$

चरण 2.8.1.4.2

$- y > x^{2} - 8$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.4.2.1

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.8.1.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.4.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.8.1.4.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.8.1.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.4.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.4.2.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{x^{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.8.1.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

चरण 2.8.1.4.2.3.1.3

$- 8$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ और $y < - x^{2} + 8$

चरण 2.8.2

$y < - x^{2} + 8$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

चरण 2.9

हलों का संघ ज्ञात करें.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

चरण 3