प्री-कैलकुलस उदाहरण

$6 x - 3 y + x = 22$ , $7 y - 3 z = - 24$ , $6 x + 10 y = - 18$

चरण 1

$6 x$ और $x$ जोड़ें.

$7 x - 3 y = 22$

$7 y - 3 z = - 24$

$6 x + 10 y = - 18$

चरण 2

मैट्रिक्स प्रारूप में समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करें.

$[\begin{array}{c} 7 & - 3 & 0 \\ 0 & 7 & - 3 \\ 6 & 10 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 22 \\ - 24 \\ - 18 \end{array}]$

चरण 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 7 & - 3 & 0 \\ 0 & 7 & - 3 \\ 6 & 10 & 0 \end{array}]$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

Write $[\begin{array}{c} 7 & - 3 & 0 \\ 0 & 7 & - 3 \\ 6 & 10 & 0 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 7 & - 3 & 0 \\ 0 & 7 & - 3 \\ 6 & 10 & 0 \end{array} |$

चरण 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 3.2.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 7 \\ 6 & 10 \end{array} |$

चरण 3.2.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 7 \\ 6 & 10 \end{array} |$

चरण 3.2.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 6 & 10 \end{array} |$

चरण 3.2.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 6 & 10 \end{array} |$

चरण 3.2.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 0 & 7 \end{array} |$

चरण 3.2.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 0 & 7 \end{array} |$

चरण 3.2.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 7 \\ 6 & 10 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 6 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 0 & 7 \end{array} |$

चरण 3.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 0 & 7 \\ 6 & 10 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 3 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 6 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 0 & 7 \end{array} |$

चरण 3.4

$0$ को $| \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 0 & 7 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 3 | \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 6 & 10 \end{array} | + 0$

चरण 3.5

$| \begin{array}{c} 7 & - 3 \\ 6 & 10 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$0 + 3 (7 \cdot 10 - 6 \cdot - 3) + 0$

चरण 3.5.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

$7$ को $10$ से गुणा करें.

$0 + 3 (70 - 6 \cdot - 3) + 0$

चरण 3.5.2.1.2

$- 6$ को $- 3$ से गुणा करें.

$0 + 3 (70 + 18) + 0$

चरण 3.5.2.2

$70$ और $18$ जोड़ें.

$0 + 3 \cdot 88 + 0$

चरण 3.6

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$3$ को $88$ से गुणा करें.

$0 + 264 + 0$

चरण 3.6.2

$0$ और $264$ जोड़ें.

$264 + 0$

चरण 3.6.3

$264$ और $0$ जोड़ें.

$264$

$D = 264$

चरण 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

चरण 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 22 \\ - 24 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 22 & - 3 & 0 \\ - 24 & 7 & - 3 \\ - 18 & 10 & 0 \end{array} |$

चरण 5.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 5.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 24 & 7 \\ - 18 & 10 \end{array} |$

चरण 5.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 24 & 7 \\ - 18 & 10 \end{array} |$

चरण 5.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 18 & 10 \end{array} |$

चरण 5.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 18 & 10 \end{array} |$

चरण 5.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 24 & 7 \end{array} |$

चरण 5.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 24 & 7 \end{array} |$

चरण 5.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 24 & 7 \\ - 18 & 10 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 18 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 24 & 7 \end{array} |$

चरण 5.2.2

$0$ को $| \begin{array}{c} - 24 & 7 \\ - 18 & 10 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 3 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 18 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 24 & 7 \end{array} |$

चरण 5.2.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 24 & 7 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 3 | \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 18 & 10 \end{array} | + 0$

चरण 5.2.4

$| \begin{array}{c} 22 & - 3 \\ - 18 & 10 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$0 + 3 (22 \cdot 10 - (- 18 \cdot - 3)) + 0$

चरण 5.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1.1

$22$ को $10$ से गुणा करें.

$0 + 3 (220 - (- 18 \cdot - 3)) + 0$

चरण 5.2.4.2.1.2

$- (- 18 \cdot - 3)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1.2.1

$- 18$ को $- 3$ से गुणा करें.

$0 + 3 (220 - 1 \cdot 54) + 0$

चरण 5.2.4.2.1.2.2

$- 1$ को $54$ से गुणा करें.

$0 + 3 (220 - 54) + 0$

चरण 5.2.4.2.2

$220$ में से $54$ घटाएं.

$0 + 3 \cdot 166 + 0$

चरण 5.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$3$ को $166$ से गुणा करें.

$0 + 498 + 0$

चरण 5.2.5.2

$0$ और $498$ जोड़ें.

$498 + 0$

चरण 5.2.5.3

$498$ और $0$ जोड़ें.

$498$

$D_{x} = 498$

चरण 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

चरण 5.4

Substitute $264$ for $D$ and $498$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{498}{264}$

चरण 5.5

$498$ और $264$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$498$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 (83)}{264}$

चरण 5.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$264$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \cdot 83}{6 \cdot 44}$

चरण 5.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{6 \cdot 83}{6 \cdot 44}$

चरण 5.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{83}{44}$

चरण 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 22 \\ - 24 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 22 & 0 \\ 0 & - 24 & - 3 \\ 6 & - 18 & 0 \end{array} |$

चरण 6.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 6.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 24 \\ 6 & - 18 \end{array} |$

चरण 6.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 24 \\ 6 & - 18 \end{array} |$

चरण 6.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 6 & - 18 \end{array} |$

चरण 6.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 6 & - 18 \end{array} |$

चरण 6.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 0 & - 24 \end{array} |$

चरण 6.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 0 & - 24 \end{array} |$

चरण 6.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 24 \\ 6 & - 18 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 6 & - 18 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 0 & - 24 \end{array} |$

चरण 6.2.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 0 & - 24 \\ 6 & - 18 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 3 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 6 & - 18 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 0 & - 24 \end{array} |$

चरण 6.2.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 0 & - 24 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 3 | \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 6 & - 18 \end{array} | + 0$

चरण 6.2.4

$| \begin{array}{c} 7 & 22 \\ 6 & - 18 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$0 + 3 (7 \cdot - 18 - 6 \cdot 22) + 0$

चरण 6.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.1.1

$7$ को $- 18$ से गुणा करें.

$0 + 3 (- 126 - 6 \cdot 22) + 0$

चरण 6.2.4.2.1.2

$- 6$ को $22$ से गुणा करें.

$0 + 3 (- 126 - 132) + 0$

चरण 6.2.4.2.2

$- 126$ में से $132$ घटाएं.

$0 + 3 \cdot - 258 + 0$

चरण 6.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$3$ को $- 258$ से गुणा करें.

$0 - 774 + 0$

चरण 6.2.5.2

$0$ में से $774$ घटाएं.

$- 774 + 0$

चरण 6.2.5.3

$- 774$ और $0$ जोड़ें.

$- 774$

$D_{y} = - 774$

चरण 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

चरण 6.4

Substitute $264$ for $D$ and $- 774$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 774}{264}$

चरण 6.5

$- 774$ और $264$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$- 774$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{6 (- 129)}{264}$

चरण 6.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$264$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{6 \cdot - 129}{6 \cdot 44}$

चरण 6.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{6 \cdot - 129}{6 \cdot 44}$

चरण 6.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{- 129}{44}$

चरण 6.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{129}{44}$

चरण 7

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 22 \\ - 24 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & - 3 & 22 \\ 0 & 7 & - 24 \\ 6 & 10 & - 18 \end{array} |$

चरण 7.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 7.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 24 \\ 10 & - 18 \end{array} |$

चरण 7.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 7 & - 24 \\ 10 & - 18 \end{array} |$

चरण 7.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 10 & - 18 \end{array} |$

चरण 7.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 10 & - 18 \end{array} |$

चरण 7.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.1.9

Add the terms together.

$7 | \begin{array}{c} 7 & - 24 \\ 10 & - 18 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 10 & - 18 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.2

$0$ को $| \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 10 & - 18 \end{array} |$ से गुणा करें.

$7 | \begin{array}{c} 7 & - 24 \\ 10 & - 18 \end{array} | + 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.3

$| \begin{array}{c} 7 & - 24 \\ 10 & - 18 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$7 (7 \cdot - 18 - 10 \cdot - 24) + 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1.1

$7$ को $- 18$ से गुणा करें.

$7 (- 126 - 10 \cdot - 24) + 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.3.2.1.2

$- 10$ को $- 24$ से गुणा करें.

$7 (- 126 + 240) + 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.3.2.2

$- 126$ और $240$ जोड़ें.

$7 \cdot 114 + 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$

चरण 7.2.4

$| \begin{array}{c} - 3 & 22 \\ 7 & - 24 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$7 \cdot 114 + 0 + 6 (- 3 \cdot - 24 - 7 \cdot 22)$

चरण 7.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.2.1.1

$- 3$ को $- 24$ से गुणा करें.

$7 \cdot 114 + 0 + 6 (72 - 7 \cdot 22)$

चरण 7.2.4.2.1.2

$- 7$ को $22$ से गुणा करें.

$7 \cdot 114 + 0 + 6 (72 - 154)$

चरण 7.2.4.2.2

$72$ में से $154$ घटाएं.

$7 \cdot 114 + 0 + 6 \cdot - 82$

चरण 7.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1.1

$7$ को $114$ से गुणा करें.

$798 + 0 + 6 \cdot - 82$

चरण 7.2.5.1.2

$6$ को $- 82$ से गुणा करें.

$798 + 0 - 492$

चरण 7.2.5.2

$798$ और $0$ जोड़ें.

$798 - 492$

चरण 7.2.5.3

$798$ में से $492$ घटाएं.

$306$

$D_{z} = 306$

चरण 7.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

चरण 7.4

Substitute $264$ for $D$ and $306$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{306}{264}$

चरण 7.5

$306$ और $264$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$306$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$z = \frac{6 (51)}{264}$

चरण 7.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.1

$264$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$z = \frac{6 \cdot 51}{6 \cdot 44}$

चरण 7.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$z = \frac{6 \cdot 51}{6 \cdot 44}$

चरण 7.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$z = \frac{51}{44}$

चरण 8

समीकरणों की प्रणाली के हल की सूची बनाएंं.

$x = \frac{83}{44}$

$y = - \frac{129}{44}$

$z = \frac{51}{44}$