प्री-कैलकुलस उदाहरण

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

चरण 1

जैसे ही $n$ $8$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

चरण 2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$n^{n}$ को $e^{\ln (n^{n})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

चरण 2.2

$n$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (n^{n})$ का प्रसार करें.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

चरण 3.2

जैसे ही $n$ $8$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

चरण 3.3

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4

$n$ की सभी घटनाओं के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n!$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.2

$8!$ को $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ में प्रसारित करें.

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3

$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$8$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3.2

$56$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3.3

$336$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3.4

$1680$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3.5

$6720$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3.6

$20160$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.3.7

$40320$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.4

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

चरण 4.5

$n$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$8$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $8 \cdot \ln (8)$ को सरल करें.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

चरण 5.1.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\frac{40320}{8^{8}}$

चरण 5.1.3

$8$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{40320}{16777216}$

चरण 5.2

$40320$ और $16777216$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$40320$ में से $128$ का गुणनखंड करें.

$\frac{128 (315)}{16777216}$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$16777216$ में से $128$ का गुणनखंड करें.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

चरण 5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{315}{131072}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{315}{131072}$

दशमलव रूप:

$0.00240325 \dots$