प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 5, x = 1$

चरण 2

चूँकि $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 5$ और $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 5$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 5$

चरण 3

चूँकि $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $1$ और $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $1$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 1$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - 5, 1$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 4 x - 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 5$ है और जिसका योग $4$ है.

$- 1, 5$

चरण 8.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

चरण 8.2

$(x - 1) (x + 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

चरण 8.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

चरण 8.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

चरण 8.2.4

$x$ और $5$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

चरण 8.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

चरण 8.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

चरण 8.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

चरण 8.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

चरण 8.2.9

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

चरण 8.2.10

$5 x$ में से $1 x$ घटाएं.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

चरण 8.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

चरण 8.4

भाज्य $5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

चरण 8.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

चरण 8.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

चरण 8.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

चरण 8.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

चरण 8.9

भाज्य $- 20 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

चरण 8.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

चरण 8.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 20 x^{2} - 80 x + 100$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

चरण 8.12

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

चरण 8.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

चरण 8.14

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = 5 x - 20$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 5, 1$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = 5 x - 20$

चरण 10