प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$

चरण 1

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ है.

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चरण 2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

चरण 2.1.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 12$

चरण 2.1.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 12$

चरण 2.1.3.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 5 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 12$

चरण 2.1.3.4

$- 5$ को $9$ से गुणा करें.

$27 - 45 + 2 \cdot 3 + 12$

चरण 2.1.3.5

$27$ में से $45$ घटाएं.

$- 18 + 2 \cdot 3 + 12$

चरण 2.1.3.6

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 18 + 6 + 12$

चरण 2.1.3.7

$- 18$ और $6$ जोड़ें.

$- 12 + 12$

चरण 2.1.3.8

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12}{x - 3}$

चरण 2.1.5

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ को $x - 3$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$12$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $- 2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{2} + 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 2.1.5.10

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $- 4 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$
							-	$4 x$	+	$12$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x + 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$
							+	$4 x$	-	$12$

चरण 2.1.5.15

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$
							+	$4 x$	-	$12$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 2 x - 4$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ लिखें.

$(x - 3) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

चरण 2.3

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.4

$x^{2} - 2 x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2} - 2 x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = - 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.3

$4$ और $16$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.4

$20$ को $2^{2} \cdot 5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.4.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.4.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

चरण 2.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 3) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

चरण 3

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

दशमलव रूप:

$x = 3, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

चरण 4