प्री-कैलकुलस उदाहरण

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

चरण 4.1.2

$9$ को $16$ से गुणा करें.

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

चरण 4.1.3

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

चरण 4.1.4

$- 9$ को $- 8$ से गुणा करें.

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

चरण 4.1.5

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

चरण 4.1.6

$- 58$ को $4$ से गुणा करें.

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

चरण 4.1.7

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$144$ और $72$ जोड़ें.

$216 - 232 - 8 + 24$

चरण 4.2.2

$216$ में से $232$ घटाएं.

$- 16 - 8 + 24$

चरण 4.2.3

$- 16$ में से $8$ घटाएं.

$- 24 + 24$

चरण 4.2.4

$- 24$ और $24$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

चरण 6.2

भाज्य $(9)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

चरण 6.3

परिणाम $(9)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(- 18)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

चरण 6.5

परिणाम $(- 27)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(54)$ के परिणाम को भाज्य $(- 58)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

चरण 6.6

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

चरण 6.7

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(8)$ के परिणाम को भाज्य $(4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

चरण 6.8

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

चरण 6.9

परिणाम $(12)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(- 24)$ के परिणाम को भाज्य $(24)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

चरण 6.10

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

चरण 7

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

चरण 8

महत्तम समापवर्तक, $x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

चरण 9

$9 x^{2}$ को ${(3 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

चरण 10

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

चरण 11

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 3 x$ और $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

चरण 11.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

चरण 12

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.2

$- 9 x^{3} + 4 x$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 9 x^{3}$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.2.2

$4 x$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.2.3

$- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.3

$9 x^{2}$ को ${(3 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.6

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

चरण 12.7

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

चरण 12.8

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.8.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ है और जिसका योग $b = - 58$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.8.1.1

$- 58 u$ में से $- 58$ का गुणनखंड करें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

चरण 12.8.1.2

$- 58$ को $- 4$ जोड़ $- 54$ के रूप में फिर से लिखें

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

चरण 12.8.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

चरण 12.8.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.8.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

चरण 12.8.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

चरण 12.8.3

महत्तम समापवर्तक, $9 u - 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

चरण 12.9

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 12.10

$9 x^{2}$ को ${(3 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 12.11

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 12.12

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 12.13

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ में से $(3 x + 2) (3 x - 2)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.13.1

$- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ में से $(3 x + 2) (3 x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 12.13.2

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ में से $(3 x + 2) (3 x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

चरण 12.14

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

चरण 12.15

AC विधि का उपयोग करके $- u + u^{2} - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.15.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 3, 2$

चरण 12.15.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

चरण 12.16

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.16.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

चरण 12.16.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

चरण 13

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 14

$3 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$3 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x + 2 = 0$

चरण 14.2

$x$ के लिए $3 x + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$3 x = - 2$

चरण 14.2.2

$3 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

$3 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

चरण 14.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

चरण 14.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{3}$

चरण 14.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{2}{3}$

चरण 15

$3 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$3 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 2 = 0$

चरण 15.2

$x$ के लिए $3 x - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$3 x = 2$

चरण 15.2.2

$3 x = 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.2.1

$3 x = 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

चरण 15.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

चरण 15.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2}{3}$

चरण 16

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 16.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 17

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 17.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 18

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

चरण 19