प्री-कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$4 {(3)}^{4} - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 81 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4.1.2

$4$ को $81$ से गुणा करें.

$324 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4.1.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$324 - 22 \cdot 27 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4.1.4

$- 22$ को $27$ से गुणा करें.

$324 - 594 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4.1.5

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$324 - 594 + 38 \cdot 9 - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4.1.6

$38$ को $9$ से गुणा करें.

$324 - 594 + 342 - 44 \cdot 3 + 60$

चरण 4.1.7

$- 44$ को $3$ से गुणा करें.

$324 - 594 + 342 - 132 + 60$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$324$ में से $594$ घटाएं.

$- 270 + 342 - 132 + 60$

चरण 4.2.2

$- 270$ और $342$ जोड़ें.

$72 - 132 + 60$

चरण 4.2.3

$72$ में से $132$ घटाएं.

$- 60 + 60$

चरण 4.2.4

$- 60$ और $60$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60}{x - 3}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

चरण 6.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

	$4$

चरण 6.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(12)$ के परिणाम को भाज्य $(- 22)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$	$- 10$

चरण 6.5

परिणाम $(- 10)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(- 30)$ के परिणाम को भाज्य $(38)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$

चरण 6.6

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$	$8$

चरण 6.7

परिणाम $(8)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(24)$ के परिणाम को भाज्य $(- 44)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$

चरण 6.8

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

चरण 6.9

परिणाम $(- 20)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(- 60)$ के परिणाम को भाज्य $(60)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

चरण 6.10

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (8) x - 20$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$

चरण 7

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$4 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 10 x^{2} + 8 x - 20)$

चरण 7.2

$- 10 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 8 x - 20)$

चरण 7.3

$8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) - 20)$

चरण 7.4

$- 20$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

चरण 7.5

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

चरण 7.6

$2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10))$

चरण 7.7

$2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 10))$

चरण 8

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 10))$

चरण 8.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)))$

चरण 9

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 5$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x - 3) (2 ((2 x - 5) (x^{2} + 2)))$

चरण 9.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 3) (2 (2 x - 5) (x^{2} + 2))$

चरण 10

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$4 x^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

चरण 10.1.2

$- 22 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

चरण 10.1.3

$38 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) - 44 x + 60 = 0$

चरण 10.1.4

$- 44 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 60 = 0$

चरण 10.1.5

$60$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

चरण 10.1.6

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

चरण 10.1.7

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

चरण 10.1.8

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30) = 0$

चरण 10.1.9

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x + 30) = 0$

चरण 10.2

पदों को फिर से समूहित करें.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

चरण 10.3

$- 11 x^{3} - 22 x$ में से $- 11 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$- 11 x^{3}$ में से $- 11 x$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

चरण 10.3.2

$- 22 x$ में से $- 11 x$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

चरण 10.3.3

$- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ में से $- 11 x$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

चरण 10.4

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 30) = 0$

चरण 10.5

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 u + 30) = 0$

चरण 10.6

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot 30 = 60$ है और जिसका योग $b = 19$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1.1

$19 u$ में से $19$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 (u) + 30) = 0$

चरण 10.6.1.2

$19$ को $4$ जोड़ $15$ के रूप में फिर से लिखें

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + (4 + 15) u + 30) = 0$

चरण 10.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

चरण 10.6.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

चरण 10.6.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u (u + 2) + 15 (u + 2)) = 0$

चरण 10.6.3

महत्तम समापवर्तक, $u + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (2 u + 15)) = 0$

चरण 10.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

चरण 10.8

$- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ में से $x^{2} + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.8.1

$- 11 x (x^{2} + 2)$ में से $x^{2} + 2$ का गुणनखंड करें.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

चरण 10.8.2

$(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ में से $x^{2} + 2$ का गुणनखंड करें.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 15)) = 0$

चरण 10.9

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 u + 2 u^{2} + 15)) = 0$

चरण 10.10

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.10.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

चरण 10.10.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ है और जिसका योग $b = - 11$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.10.2.1

$- 11 u$ में से $- 11$ का गुणनखंड करें.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

चरण 10.10.2.2

$- 11$ को $- 5$ जोड़ $- 6$ के रूप में फिर से लिखें

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15)) = 0$

चरण 10.10.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15)) = 0$

चरण 10.10.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.10.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u^{2} - 5 u) - 6 u + 15)) = 0$

चरण 10.10.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 ((x^{2} + 2) (u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5))) = 0$

चरण 10.10.4

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 5$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u - 5) (u - 3))) = 0$

चरण 10.11

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.11.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.11.1.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

चरण 10.11.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

चरण 10.11.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

चरण 11

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 12

$x^{2} + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x^{2} + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 = 0$

चरण 12.2

$x$ के लिए $x^{2} + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x^{2} = - 2$

चरण 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

चरण 12.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

चरण 12.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

चरण 12.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \sqrt{2}$

चरण 12.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i \sqrt{2}$

चरण 12.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i \sqrt{2}$

चरण 12.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

चरण 13

$2 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 5 = 0$

चरण 13.2

$x$ के लिए $2 x - 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$2 x = 5$

चरण 13.2.2

$2 x = 5$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.1

$2 x = 5$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

चरण 13.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

चरण 13.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{5}{2}$

चरण 14

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 14.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 15

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{5}{2}, 3$

चरण 16