प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$0$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$2 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 10 (0)$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 0$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 10 (0)$

चरण 4.1.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 12 {(0)}^{2} + 10 (0)$

चरण 4.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + 12 \cdot 0 + 10 (0)$

चरण 4.1.4

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 10 (0)$

चरण 4.1.5

$10$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 0$

चरण 4.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 0$

चरण 4.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $0$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 0$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x}{x + 0}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$

चरण 6.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$

	$2$

चरण 6.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(0)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(12)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$
	$2$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$
	$2$	$12$

चरण 6.5

परिणाम $(12)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(0)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(10)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$12$

चरण 6.6

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$12$	$10$

चरण 6.7

परिणाम $(10)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(0)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$12$	$10$

चरण 6.8

$0$	$2$	$12$	$10$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$12$	$10$	$0$

चरण 6.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 x^{2} + 12 x + 10$

चरण 7

$2 x^{2} + 12 x + 10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 0) (2 (x^{2}) + 12 x + 10)$

चरण 7.2

$12 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 0) (2 (x^{2}) + 2 (6 x) + 10)$

चरण 7.3

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 0) (2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot 5)$

चरण 7.4

$2 x^{2} + 2 (6 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 0) (2 (x^{2} + 6 x) + 2 \cdot 5)$

चरण 7.5

$2 (x^{2} + 6 x) + 2 \cdot 5$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 0) (2 (x^{2} + 6 x + 5))$

चरण 8

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 6 x + 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $5$ है और जिसका योग $6$ है.

$1, 5$

चरण 8.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 0) (2 ((x + 1) (x + 5)))$

चरण 8.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 0) (2 (x + 1) (x + 5))$

चरण 9

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 x^{3}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 10 x = 0$

चरण 9.1.2

$12 x^{2}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x) + 10 x = 0$

चरण 9.1.3

$10 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x) + 2 x (5) = 0$

चरण 9.1.4

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2} + 6 x) + 2 x (5) = 0$

चरण 9.1.5

$2 x (x^{2} + 6 x) + 2 x (5)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$2 x (x^{2} + 6 x + 5) = 0$

चरण 9.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 6 x + 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$1, 5$

चरण 9.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$2 x ((x + 1) (x + 5)) = 0$

चरण 9.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 x (x + 1) (x + 5) = 0$

चरण 10

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

चरण 11

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 12

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 12.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 13

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 5 = 0$

चरण 13.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$x = - 5$

चरण 14

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 x (x + 1) (x + 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1, - 5$

चरण 15