प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 6 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

चरण 4.1.3

$- 6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 6 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 6 + 4 \cdot 1 + 15 (- 1) + 4$

चरण 4.1.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 6 + 4 + 15 (- 1) + 4$

चरण 4.1.6

$15$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 6 + 4 - 15 + 4$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ और $6$ जोड़ें.

$7 + 4 - 15 + 4$

चरण 4.2.2

$7$ और $4$ जोड़ें.

$11 - 15 + 4$

चरण 4.2.3

$11$ में से $15$ घटाएं.

$- 4 + 4$

चरण 4.2.4

$- 4$ और $4$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4}{x + 1}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

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चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 6)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$	$- 7$

चरण 6.5

परिणाम $(- 7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(7)$ के परिणाम को भाज्य $(4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$

चरण 6.6

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$	$11$

चरण 6.7

परिणाम $(11)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 11)$ के परिणाम को भाज्य $(15)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$

चरण 6.8

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

चरण 6.9

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 4)$ के परिणाम को भाज्य $(4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

चरण 6.10

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (11) x + 4$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$

चरण 7

किसी भी शेष मूल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

चरण 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

चरण 7.1.3

$4$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $4$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$4$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

चरण 7.1.3.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

चरण 7.1.3.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 7 \cdot 16 + 11 \cdot 4 + 4$

चरण 7.1.3.4

$- 7$ को $16$ से गुणा करें.

$64 - 112 + 11 \cdot 4 + 4$

चरण 7.1.3.5

$64$ में से $112$ घटाएं.

$- 48 + 11 \cdot 4 + 4$

चरण 7.1.3.6

$11$ को $4$ से गुणा करें.

$- 48 + 44 + 4$

चरण 7.1.3.7

$- 48$ और $44$ जोड़ें.

$- 4 + 4$

चरण 7.1.3.8

$- 4$ और $4$ जोड़ें.

$0$

चरण 7.1.4

चूँकि $4$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 4$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4}{x - 4}$

चरण 7.1.5

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ को $x - 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$4$

चरण 7.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$

चरण 7.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

चरण 7.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 4 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

चरण 7.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

चरण 7.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

चरण 7.1.5.7

भाज्य $- 3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

चरण 7.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 7.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x^{2} + 12 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

चरण 7.1.5.10

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$

चरण 7.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

चरण 7.1.5.12

भाज्य $- x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

चरण 7.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							-	$x$	+	$4$

चरण 7.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x + 4$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$

चरण 7.1.5.15

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$
										$0$

चरण 7.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 3 x - 1$

चरण 7.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ लिखें.

$(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

चरण 7.3

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 7.4

$x^{2} - 3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$x^{2} - 3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

चरण 7.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 3$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.3

$9$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

चरण 7.4.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.3

$9$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

चरण 7.4.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

चरण 7.4.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.3

$9$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

चरण 7.4.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

चरण 7.4.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

चरण 7.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

चरण 8

बहुपद को रैखिक गुणनखंडों के सेट के रूप में लिखा जा सकता है.

$(x + 1) (x - 4) (x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) (x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

चरण 9

ये बहुपद $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$ के मूल (शून्य) हैं.

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

दशमलव रूप:

$x = - 1, 4, 3.30277563 \dots, - 0.30277563 \dots$

चरण 11