प्री-कैलकुलस उदाहरण

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 5$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.6$

चरण 1.3

$0.6$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.6$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0.6$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$5 \cdot {0.6}^{3} + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

चरण 1.3.2

$0.6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \cdot 0.216 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

चरण 1.3.3

$5$ को $0.216$ से गुणा करें.

$1.08 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

चरण 1.3.4

$0.6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1.08 + 7 \cdot 0.36 - 11 \cdot 0.6 + 3$

चरण 1.3.5

$7$ को $0.36$ से गुणा करें.

$1.08 + 2.52 - 11 \cdot 0.6 + 3$

चरण 1.3.6

$1.08$ और $2.52$ जोड़ें.

$3.6 - 11 \cdot 0.6 + 3$

चरण 1.3.7

$- 11$ को $0.6$ से गुणा करें.

$3.6 - 6.6 + 3$

चरण 1.3.8

$3.6$ में से $6.6$ घटाएं.

$- 3 + 3$

चरण 1.3.9

$- 3$ और $3$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $0.6$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $5 x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3}{5 x - 3}$

चरण 1.5

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ को $5 x - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$5 x$

$3$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$3$

चरण 1.5.2

भाज्य $5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $5 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $10 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $5 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $10 x^{2} - 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 1.5.10

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 5 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $5 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							-	$5 x$	+	$3$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x + 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$

चरण 1.5.15

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 2 x - 1$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ लिखें.

$(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$5 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

चरण 3

$5 x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$5 x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x - 3 = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए $5 x - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$5 x = 3$

चरण 3.2.2

$5 x = 3$ के प्रत्येक पद को $5$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$5 x = 3$ के प्रत्येक पद को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{3}{5}$

चरण 4

$x^{2} + 2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{2} + 2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.4

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.4.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

चरण 4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

दशमलव रूप:

$x = 0.6, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$