प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(- 3, 2)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$12$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{144 + 25}$

चरण 5.3.3

$144$ और $25$ जोड़ें.

$\sqrt{169}$

चरण 5.3.4

$169$ को $13^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{13^{2}}$

चरण 5.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$13$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + a, k)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(9, 2)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - a, k)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 15, 2)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h \pm a, k)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(9, 2), (- 15, 2)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + c, k)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(10, 2)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - c, k)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 16, 2)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(10, 2), (- 16, 2)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$12$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

चरण 8.3.2

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

चरण 8.3.3

$144$ और $25$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

चरण 8.3.4

$169$ को $13^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

चरण 8.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{13}{12}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{5^{2}}{13}$

चरण 9.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{25}{13}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ रूप का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

चरण 11

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

चरण 11.2

$\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

चरण 11.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

चरण 11.2.1.3

$\frac{5}{12}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

चरण 11.2.1.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.4.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

चरण 11.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

चरण 11.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

चरण 11.2.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

चरण 11.2.3

$2$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

चरण 11.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

चरण 11.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.5.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

चरण 11.2.5.2

$5$ और $8$ जोड़ें.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

चरण 12

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

चरण 12.2

$- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

चरण 12.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

चरण 12.2.1.3

$x$ और $\frac{5}{12}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

चरण 12.2.1.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.4.1

$- \frac{5}{12}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

चरण 12.2.1.4.2

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

चरण 12.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

चरण 12.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

चरण 12.2.1.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.5.1

$5$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

चरण 12.2.1.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

चरण 12.2.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

चरण 12.2.3

$2$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

चरण 12.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

चरण 12.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.5.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

चरण 12.2.5.2

$- 5$ और $8$ जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(- 3, 2)$

शीर्ष: $(9, 2), (- 15, 2)$

फ़ॉसी: $(10, 2), (- 16, 2)$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{13}{12}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{25}{13}$

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

चरण 15