प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

चरण 1

$f (x) = 4 e^{x}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 4 e^{x}$

चरण 2

परिवर्तन की औसत दर सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

किसी फलन के परिवर्तन की औसत दर दो बिंदुओं के $x$ मानों में परिवर्तन से विभाजित दो बिंदुओं के $y$ मानों में परिवर्तन की गणना करके ज्ञात की जा सकती है.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

चरण 2.2

$f (2)$ और $f (- 2)$ के लिए समीकरण $y = 4 e^{x}$ को प्रतिस्थापित करें, फलन में $x$ को संबंधित $x$ मान से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

चरण 3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$4 e^{2}$ को ${(2 e)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.2

$4 e^{- 2}$ को ${(2 e^{- 1})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 2 e$ और $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$2 e + 2 e^{- 1}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.4.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.5

$e$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e}{e}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.7

$e e$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.7.1

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.7.2

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.7.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.7.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.8.2

$- 2$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.9

$2 e$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e}{e}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.11

$2 e e$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.11.1

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.11.2

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.11.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.11.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.12

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.12.1

$2$ और $\frac{e^{2} + 1}{e}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.12.2

$\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ को $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.12.3

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.12.4

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.12.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.1.12.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

चरण 3.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

चरण 3.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

चरण 3.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

चरण 3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

जोड़ना.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

चरण 3.4.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

चरण 3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$e^{2} \cdot 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

चरण 3.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

चरण 3.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

चरण 3.4.3

$2 e^{2} - 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

चरण 3.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.2.1

$e^{2} \cdot 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

चरण 3.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

चरण 3.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

चरण 3.4.4

$e^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

चरण 3.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = e$ और $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$