प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

चरण 1

$f (x) = 6 e^{x}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 6 e^{x}$

चरण 2

परिवर्तन की औसत दर सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

किसी फलन के परिवर्तन की औसत दर दो बिंदुओं के $x$ मानों में परिवर्तन से विभाजित दो बिंदुओं के $y$ मानों में परिवर्तन की गणना करके ज्ञात की जा सकती है.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

चरण 2.2

$f (3)$ और $f (- 3)$ के लिए समीकरण $y = 6 e^{x}$ को प्रतिस्थापित करें, फलन में $x$ को संबंधित $x$ मान से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

चरण 3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.3

$- 6$ और $\frac{1}{e^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.5

$6 e^{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.7

घातांक जोड़कर $e^{3}$ को $e^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.7.1

$e^{3}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.1.7.3

$3$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

चरण 3.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

चरण 3.2.2

$3$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

चरण 3.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

चरण 3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ को $\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

चरण 3.4.2

$6 e^{6} - 6$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$6 e^{6}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

चरण 3.4.2.2

$- 6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

चरण 3.4.2.3

$6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

चरण 3.4.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.4.1

$e^{3} \cdot 6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

चरण 3.4.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

चरण 3.4.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$e^{6}$ को ${(e^{2})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

चरण 3.5.2

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

चरण 3.5.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = e^{2}$ और $b = 1$ हैं.

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

चरण 3.5.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

चरण 3.5.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = e$ और $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

चरण 3.5.4.3

$e^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

चरण 3.5.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1

घातांक को ${(e^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

चरण 3.5.5.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

चरण 3.5.5.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$