लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$3 x + Y - 3 Z = - 8$ , $- 6 x - 2 y + 6 z = 16$ , $12 x + 4 y - 12 z = 31$

Step 1

समीकरणों की प्रणाली से $A X = B$ पता करें.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & - 3 \\ - 6 & - 2 & 6 \\ 12 & 4 & - 12 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 8 \\ 16 \\ 31 \end{array}]$

Step 2

गुणांक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

एक मैट्रिक्स सेट करें जो समान आकार के दो टुकड़ों में विभाजित हो. बाईं ओर, मूल मैट्रिक्स के तत्वों को भरें. दाईं ओर, सर्वसमिका मैट्रिक्स के तत्वों को भरें. व्युत्क्रम मैट्रिक्स पता करने के लिए, बाईं ओर को सर्वसमिका मैट्रिक्स में बदलने के लिए पंक्ति अभिक्रिया का उपयोग करें. इसके पूरा होने के बाद, मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम डबल मैट्रिक्स के दाईं ओर होगा.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $1$ में बदलने के लिए $R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $1$ में बदलने के लिए $R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को पंक्ति संचालन $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

$R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को पंक्ति संचालन $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{3}) \cdot (3) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

$R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 6 & - 2 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $0$ में बदलने के लिए $R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $0$ में बदलने के लिए $R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को पंक्ति संचालन $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को पंक्ति संचालन $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (6) \cdot (1) - 6 & (6) \cdot (\frac{1}{3}) - 2 & (6) \cdot (- 1) + 6 & (6) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (6) \cdot (0) + 1 & (6) \cdot (0) + 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 12 & 4 & - 12 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $0$ में बदलने के लिए $R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $0$ में बदलने के लिए $R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को पंक्ति संचालन $R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} & - 12 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को पंक्ति संचालन $R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ (- 12) \cdot (1) + 12 & (- 12) \cdot (\frac{1}{3}) + 4 & (- 12) \cdot (- 1) - 12 & (- 12) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 12) \cdot (0) + 0 & (- 12) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 12 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $1$ में बदलने के लिए $R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $1$ में बदलने के लिए $R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को पंक्ति संचालन $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$

$R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को पंक्ति संचालन $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$

$R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $0$ में बदलने के लिए $R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $0$ में बदलने के लिए $R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को पंक्ति संचालन $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को पंक्ति संचालन $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) - 1 & (- \frac{1}{3}) \cdot (1) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 0 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $0$ में बदलने के लिए $R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $0$ में बदलने के लिए $R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को पंक्ति संचालन $R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} & 4 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को पंक्ति संचालन $R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ (4) \cdot (0) + 0 & (4) \cdot (0) + 0 & (4) \cdot (0) + 0 & (4) \cdot (1) - 4 & (4) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (4) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = 4 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $1$ में बदलने के लिए $R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $1$ में बदलने के लिए $R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को पंक्ति संचालन $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

$R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को पंक्ति संचालन $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

$R_{3}$ (पंक्ति $3$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & - \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $0$ में बदलने के लिए $R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $0$ में बदलने के लिए $R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को पंक्ति संचालन $R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} & \frac{1}{6} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को पंक्ति संचालन $R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{6}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{6}) \cdot (0) + \frac{1}{3} & (\frac{1}{6}) \cdot (0) - 1 & (\frac{1}{6}) \cdot (0) + 0 & (\frac{1}{6}) \cdot (1) - \frac{1}{6} & (\frac{1}{6}) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{6} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ (पंक्ति $1$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

पंक्ति में कुछ अवयवों को $0$ में बदलने के लिए $R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) पर पंक्ति अभिक्रिया $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

पंक्ति में कुछ अवयवों को वांछित मान $0$ में बदलने के लिए $R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को पंक्ति संचालन $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को पंक्ति संचालन $R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ के अवयवों के वास्तविक मानों से बदलें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ (पंक्ति $2$ ) को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{12} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

चूंकि मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है, कोई व्युत्क्रम नहीं है.

कोई व्युत्क्रम नहीं

Step 3

चूंकि मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं है, इसलिए इसे व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है.

कोई हल नहीं