लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$2 x + 3 y - z = 2$ , $x - 2 y + 3 z = 0$ , $3 x - y + z = 4$

चरण 1

समीकरणों की प्रणाली से $A X = B$ पता करें.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}]$

चरण 2

गुणांक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.2

$| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$2 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.2.2.1.2

$- (- 1 \cdot 3)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1.2.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$2 (- 2 - - 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.2.2.1.2.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$2 (- 2 + 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.2.2.2

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$2 \cdot 1 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.3

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$2 \cdot 1 - 3 (1 \cdot 1 - 3 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cdot 1 - 3 (1 - 3 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.3.2.1.2

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$2 \cdot 1 - 3 (1 - 9) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.3.2.2

$1$ में से $9$ घटाएं.

$2 \cdot 1 - 3 \cdot - 8 - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.4

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$2 \cdot 1 - 3 \cdot - 8 - 1 (1 \cdot - 1 - 3 \cdot - 2)$

चरण 2.1.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cdot 1 - 3 \cdot - 8 - 1 (- 1 - 3 \cdot - 2)$

चरण 2.1.4.2.1.2

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \cdot 1 - 3 \cdot - 8 - 1 (- 1 + 6)$

चरण 2.1.4.2.2

$- 1$ और $6$ जोड़ें.

$2 \cdot 1 - 3 \cdot - 8 - 1 \cdot 5$

चरण 2.1.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - 3 \cdot - 8 - 1 \cdot 5$

चरण 2.1.5.1.2

$- 3$ को $- 8$ से गुणा करें.

$2 + 24 - 1 \cdot 5$

चरण 2.1.5.1.3

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$2 + 24 - 5$

चरण 2.1.5.2

$2$ और $24$ जोड़ें.

$26 - 5$

चरण 2.1.5.3

$26$ में से $5$ घटाएं.

$21$

चरण 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

चरण 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & - 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 - \frac{3}{2} & 3 + \frac{1}{2} & 0 - \frac{1}{2} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 0 - 3 (\frac{1}{2}) & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 2.4.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{2}{7} \cdot 0 & - \frac{2}{7} (- \frac{7}{2}) & - \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} & - \frac{2}{7} (- \frac{1}{2}) & - \frac{2}{7} \cdot 1 & - \frac{2}{7} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.4.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{11}{2} & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 + \frac{11}{2} \cdot 0 & - \frac{11}{2} + \frac{11}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} + \frac{11}{2} \cdot - 1 & - \frac{3}{2} + \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{7} & 0 + \frac{11}{2} (- \frac{2}{7}) & 1 + \frac{11}{2} \cdot 0 \end{array}]$

चरण 2.4.5.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - \frac{5}{7} & - \frac{11}{7} & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} (- \frac{5}{7}) & - \frac{1}{3} (- \frac{11}{7}) & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 2.4.6.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{1}{7} + \frac{5}{21} & - \frac{2}{7} + \frac{11}{21} & 0 - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.7.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{21} & 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{21} & 0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.8.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{13}{21} & \frac{11}{42} & - \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{13}{21} - \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{21} & \frac{11}{42} - \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{21} & - \frac{1}{6} - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.4.9.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{21} & - \frac{2}{21} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{21} & - \frac{2}{21} & \frac{1}{3} \\ \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

चरण 3

बाएं मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करें.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{21} & - \frac{2}{21} & \frac{1}{3} \\ \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{21} & - \frac{2}{21} & \frac{1}{3} \\ \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}]$

चरण 4

किसी भी मैट्रिक्स को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर, हमेशा $1$ के बराबर होता है. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{21} & - \frac{2}{21} & \frac{1}{3} \\ \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}]$

चरण 5

$[\begin{array}{c} \frac{1}{21} & - \frac{2}{21} & \frac{1}{3} \\ \frac{8}{21} & \frac{5}{21} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{21} & \frac{11}{21} & - \frac{1}{3} \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}]$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

चरण 5.2

पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{21} \cdot 2 - \frac{2}{21} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 4 \\ \frac{8}{21} \cdot 2 + \frac{5}{21} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4 \\ \frac{5}{21} \cdot 2 + \frac{11}{21} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4 \end{array}]$

चरण 5.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$[\begin{array}{c} \frac{10}{7} \\ - \frac{4}{7} \\ - \frac{6}{7} \end{array}]$

चरण 6

बाएँ और दाएँ पक्ष को सरल करें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{7} \\ - \frac{4}{7} \\ - \frac{6}{7} \end{array}]$

चरण 7

हल/समाधान पता करें.

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$z = - \frac{6}{7}$