लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

चरण 1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

चरण 2.2

असमानता के बाईं पक्ष की ओर करणी को हटाने के लिए, असमानता के दोनों किनारों को वर्ग करें.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

चरण 2.3

असमानता के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.2.1.2

सरल करें.

$x > {(- x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

${(- x^{2})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

उत्पाद नियम को $- x^{2}$ पर लागू करें.

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.3.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.3.1.3

${(x^{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x > {(x^{2})}^{2}$

चरण 2.3.3.1.4

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

चरण 2.3.3.1.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x > x^{4}$

चरण 2.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

असमानता के दोनों पक्षों से $x^{4}$ घटाएं.

$x - x^{4} > 0$

चरण 2.4.2

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x - x^{4} = 0$

चरण 2.4.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$x - x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x - x^{4} = 0$

चरण 2.4.3.1.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

चरण 2.4.3.1.3

$- x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

चरण 2.4.3.1.4

$x \cdot 1 + x (- x^{3})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (1 - x^{3}) = 0$

चरण 2.4.3.2

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

चरण 2.4.3.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = 1$ और $b = x$ हैं.

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

चरण 2.4.3.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.4.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

चरण 2.4.3.4.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

चरण 2.4.3.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

चरण 2.4.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

चरण 2.4.5

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.4.6

$1 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.1

$1 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 - x = 0$

चरण 2.4.6.2

$x$ के लिए $1 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x = - 1$

चरण 2.4.6.2.2

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.2.2.1

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.6.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.6.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 2.4.7

$1 + x + x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.1

$1 + x + x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 + x + x^{2} = 0$

चरण 2.4.7.2

$x$ के लिए $1 + x + x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.7.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 1$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.3.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.4.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.4.5

$i \sqrt{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

चरण 2.4.7.2.4.6

$- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

चरण 2.4.7.2.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.7.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.5.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.5.5

$- i \sqrt{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

चरण 2.4.7.2.5.6

$- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

चरण 2.4.7.2.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.7.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5

$x^{2} + \sqrt{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x \geq 0$

चरण 2.5.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$[0, \infty)$

चरण 2.6

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

चरण 2.7

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 2.7.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

चरण 2.7.1.3

बाईं ओर दाईं ओर के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 2.7.2

अंतराल $0 < x < 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

अंतराल $0 < x < 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0.5$

चरण 2.7.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0.5$ से बदलें.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

चरण 2.7.2.3

बाईं ओर $0.95710678$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 2.7.3

अंतराल $x > 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.1

अंतराल $x > 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 2.7.3.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

चरण 2.7.3.3

बाईं ओर $18$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 2.7.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < 0$ गलत

$0 < x < 1$ सही

$x > 1$ सही

$x < 0$ गलत

$0 < x < 1$ सही

$x > 1$ सही

चरण 2.8

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$0 < x < 1$ या $x > 1$

चरण 3

$x \geq 0$

चरण 4

$\frac{e^{x}}{x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x = 0$

चरण 5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0, x \neq 1}$

चरण 6