कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{x}{x + 1})}^{5}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 1})}^{5})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{x + 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{x + 1}$ से बदलें.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

चरण 3.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + 1$ है.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.4

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.6.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.6.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.6.5

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{x}{x + 1})}^{4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x}{x + 1}$ पर लागू करें.

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}}$ को $\frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$ से गुणा करें.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

चरण 3.4.2.2

घातांक जोड़कर ${(x + 1)}^{2}$ को ${(x + 1)}^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2 + 4}}$

चरण 3.4.2.2.2

$2$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$