कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{3 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{e^{3 x}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (x) d x)$

चरण 4

$\frac{1}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} \int e^{3 x} (x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{3 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{e^{3 x}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

चरण 6.3

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

चरण 8

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

चरण 9

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

चरण 11.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ को $\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{3} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

चरण 13.2.2

$\frac{x^{2}}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

चरण 13.2.3

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

चरण 13.2.4

$\frac{x}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

चरण 13.2.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

चरण 13.2.6

$- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

चरण 13.2.7

$- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 13.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 13.2.9

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.10

$- 3$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.11

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.12

$- 6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.12.1

$- 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.12.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 13.2.12.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9})}{3} + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$

चरण 16

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$ को $\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$x^{2} e^{3 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + x^{2} e^{3 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.2

$x^{2} e^{3 x}$ और $\frac{9}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cdot 9}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{x^{2} e^{3 x} \cdot 9 + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.4

$9$ को $x^{2} e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{9 \cdot (x^{2} e^{3 x}) + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.6

$- \frac{2 x e^{3 x}}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.7

प्रत्येक व्यंजक को $9$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.7.1

$\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.7.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}) + C$

चरण 17.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 x e^{3 x} \cdot 3 + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9} + C$

चरण 17.9

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9} + C$

चरण 17.10

$\frac{1}{3}$ को $\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{3 \cdot 9} + C$

चरण 17.11

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}}{27} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{27} (- 6 x e^{3 x} + 9 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x}) + C$