कैलकुलस उदाहरण

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

चरण 1

$\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ को $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

चरण 2

सीमा को बाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3

बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.1.1

जैसे-जैसे $θ$ $\frac{π}{2}$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $\frac{π}{2}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2.1.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2.2

$θ$ के लिए $\frac{π}{2}$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.3.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 3.1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

चरण 3.1.1.3.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{0}{0}$

चरण 3.1.1.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 3.1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 3.1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $θ$ के संबंध में $1 - \sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3.3

चूंकि $θ$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $θ$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3.4

$\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.4.1

चूंकि $- 1$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $- \sin (θ)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3.4.2

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3.5

$0$ में से $\cos (θ)$ घटाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 3.1.3.6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = θ^{- 2}$ और $g (θ) = \tan (θ)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\tan (θ)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

चरण 3.1.3.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

चरण 3.1.3.6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\tan (θ)$ से बदलें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

चरण 3.1.3.7

$θ$ के संबंध में $\tan (θ)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (θ)$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

चरण 3.1.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.8.1

$- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 3.1.3.8.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (θ)$ को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 3.1.3.8.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (θ)}$ पर लागू करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 3.1.3.8.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 3.1.3.8.5

$- 2$ और $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 3.1.3.8.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 3.1.3.8.7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (θ)$ को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

चरण 3.1.3.8.8

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

चरण 3.1.3.8.9

उत्पाद नियम को $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ पर लागू करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.3.8.10

$\cos^{2} (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.8.10.1

$- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.3.8.10.2

$\cos^{3} (θ)$ में से $\cos^{2} (θ)$ का गुणनखंड करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.3.8.10.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.3.8.10.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.3.8.11

$- 2$ और $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.3.8.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 3.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

चरण 3.1.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 3.1.5.2

$\cos (θ)$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 3.1.5.3

$\cos (θ)$ और $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 3.1.6

$\cos (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 3.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

चरण 3.2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $θ$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

चरण 3.2.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $\sin^{3} (θ)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

चरण 3.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

चरण 3.3

$θ$ के लिए $\frac{π}{2}$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

चरण 3.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

चरण 3.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.4.3

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 4

सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में सेट करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5

दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1.1

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $θ$ के $\frac{π}{2}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2.1.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2.2

$θ$ के लिए $\frac{π}{2}$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.3.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

चरण 5.1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

चरण 5.1.1.3.2

$\frac{0}{0}$

चरण 5.1.1.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 5.1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3.3

चूंकि $θ$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $θ$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3.4

$\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.4.1

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3.4.2

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3.5

$0$ में से $\cos (θ)$ घटाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

चरण 5.1.3.6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\tan (θ)$ के रूप में सेट करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

चरण 5.1.3.6.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

चरण 5.1.3.6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\tan (θ)$ से बदलें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

चरण 5.1.3.7

$θ$ के संबंध में $\tan (θ)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (θ)$ है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

चरण 5.1.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.8.1

$- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 5.1.3.8.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (θ)$ को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 5.1.3.8.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (θ)}$ पर लागू करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 5.1.3.8.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 5.1.3.8.5

$- 2$ और $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 5.1.3.8.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

चरण 5.1.3.8.7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (θ)$ को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

चरण 5.1.3.8.8

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

चरण 5.1.3.8.9

उत्पाद नियम को $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ पर लागू करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.3.8.10

$\cos^{2} (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.8.10.1

$- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.3.8.10.2

$\cos^{3} (θ)$ में से $\cos^{2} (θ)$ का गुणनखंड करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.3.8.10.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.3.8.10.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.3.8.11

$- 2$ और $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.3.8.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

चरण 5.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

चरण 5.1.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 5.1.5.2

$\cos (θ)$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 5.1.5.3

$\cos (θ)$ और $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ को मिलाएं.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 5.1.6

$\cos (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

चरण 5.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

चरण 5.2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $θ$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

चरण 5.2.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $\sin^{3} (θ)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

चरण 5.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

चरण 5.3

$θ$ के लिए $\frac{π}{2}$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

चरण 5.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

चरण 5.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 5.4.3

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 6

चूँकि बाईं ओर की सीमा दाईं ओर की सीमा के बराबर है, इसलिए सीमा $\frac{1}{2}$ के बराबर है.

$\frac{1}{2}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$